"Debería" ¿Qué propiedades tienen espectro del anillo no conmutativo?

Question

Ya hay mucha discusión acerca de la motivación para el primer espectro de anillo conmutativo. En mi punto de vista(no muy original), existen las siguientes razones de la importancia del primer espectro.

1. $\text{Spec}(R)$ es el mínimo de espectro que contiene $\text{Spec}_{\rm max}(R)$ que tiene buena functoriality lo que significa que la preimagen de un primer ideal es todavía un alojamiento ideal.

2. si $p\in \text{Spec}(R)$, $S_{p} = R-p$ es multiplicativo conjunto. Entonces uno puede localizar.

3. $S_{p}^{-1}R$ $p\in \text{Spec}(R)$ es un anillo local (único ideal maximal que es equivalente a tener único isomorfismo clase de módulos sencillos). Anillo Local es fácil de tratar y de la máxima ideal puede ser descrito en forma explícita, yo.e $m=S_p^{-1}p$

(Mi asesor me dijo P. Cartier empujado Grothendieck para construir conmutativa geometría algebraica maquinaria basada en el primer espectro y las razones mencionadas anteriormente son las razones por las que se utiliza el primer espectro)

Complementarias razón: uno puede tener buenas definiciones de espacio topológico y una estructura de gavilla en él de modo que uno puede recuperar este anillo conmutativo de la espalda como su sección global

Ahora, mi pregunta es para la gente que viene de conmutativa mundo, ¿qué otras propiedades ¿espera que el espectro de un no conmutativa anillo debe tener?

Soy consciente de que la gente viene de diferentes ramas, puede haber varios tipos de no conmutativa anillo que surjan en su estudio. Por lo tanto, la pregunta para la gente que viene de diferentes ramas de las matemáticas es que el tipo de no conmutativa anillo de hacer cumplir y qué características cree usted que el espectro de no conmutativa anillo debe tener para satisfacer su necesidad?

La principal motivación para que me haga esta pregunta es que estoy aprendiendo no conmutativa la geometría algebraica. En la existencia de trabajo por Rosenberg, hay varios tipos de espectro(por lo menos seis diferentes espectro) para diferentes fines, y la satisfacción de los analógica propiedades(no conmutativa de la versión)que he mencionado anteriormente y que coincidan con el primer espectro al imponer la condición de conmutatividad. Me pregunto comprobar si estos espectro cumplido los demás razonable de la demanda

Answer 1

Sé casi nada sobre no conmutativa los anillos, pero he pensado un poco sobre lo que el concepto general de los espectros podría o debería ser, así que me voy a aventurarse a una respuesta.

Otra propiedad que podría pedir es que tiene una buena descripción categórica. Voy a explicar lo que quiero decir.

El espectro de un anillo conmutativo puede ser descrito de la siguiente manera. (Voy a describir su conjunto subyacente, no es su topología o estructura de la gavilla.) Tenemos la categoría CRing de anillos conmutativos, y el pleno de la subcategoría de Campo de los campos. Dado un anillo conmutativo $A$, se obtiene una nueva categoría de $A/$Campo: un objeto es un campo de $k$ junto con un homomorphism $A \to k$, y una de morfismos es un conmutativa triángulo. El conjunto de los componentes de esta categoría $A/$Campo es $\mathrm{Spec} A$.

Hay conceptual de la historia aquí. Supongamos que en lugar de pensar acerca de la topología algebraica. Topologists (a excepción de "general" o "punto" topologists) están interesados en la observación de los espacios desde el punto de vista del espacio Euclidiano. Por ejemplo, un pensamiento básico de homotopy teoría es que la sonda de un espacio mirando las rutas en ella, es decir, los mapas de$[0, 1]$. Tenemos la categoría Superior de todos los espacios topológicos, y la subcategoría Δ que consiste en el estándar topológico simplices $\Delta^n$ y los diversos cara y la degeneración de los mapas entre ellos. Para cada espacio topológico $A$ se obtiene una nueva categoría Δ$/A$, en el que un objeto es un simplex en $A$ (es decir, un objeto $\Delta^n$ Δ , junto con un mapa $\Delta^n \to A$) y una de morfismos es un conmutativa triángulo. Esta nueva categoría es básicamente el singular conjunto simplicial de $A$, ligeramente disfrazado.

Hay algunas diferencias entre las dos situaciones: las instrucciones se han invertido (por la costumbre de álgebra/geometría de la dualidad razones), y en la topológico caso, tomando el conjunto de los componentes de la categoría no sería una forma interesante de hacer las cosas. Pero el punto es este: en la topológico caso, la categoría Δ$/A$ encapsula

cómo $A$ se ve desde el punto de vista de simplices.

En el algebraicas caso, la categoría de $A/$Campo encapsula

cómo $A$ se ve desde el punto de vista de los campos.

$\mathrm{Spec} A$ es el conjunto de los componentes de esta categoría, y así le da información parcial acerca de cómo $A$ se ve desde el punto de vista de los campos.

Answer 2

Sé que esta pregunta es vieja y tiene una respuesta aceptada, pero este excelente libro por Manny Reyes da algunas reflexiones más acerca de posibles especificaciones para los anillos no conmutativo.