Propiedades del potencial de intercambio de un pión para un sistema de dos núcleos

Question

Estoy repasando mi libro de Física Nuclear, y me he encontrado con una sección llamada "Propiedades del OPEP para el sistema de dos núcleos".

Se comienza considerando el sistema n-p en un estado de espín singlete $(S=0)$ . Dice que a partir del principio de Pauli generalizado, el sistema n-p debe estar en un estado de espín isotópico triplete. Por lo tanto, $\overrightarrow{\sigma}_1 \cdot \overrightarrow{\sigma}_2 = -3$ , mientras que $\overrightarrow{\tau}_1 \cdot \overrightarrow{\tau}_2 = 1$ - que supongo que son las matrices de Pauli de espín e isospín.

A continuación, esto se utiliza para determinar la OPEP a través de una gran ecuación, donde las cosas se desvanecen y tal.

Mi pregunta es: ¿Cómo se determina esto? ¿Por qué es un estado de isospín triplete, de dónde vienen el -3 y el 1? He mirado todo el capítulo, pero no consigo entenderlo :/

Answer 1

Supongo que lo que se quiere decir es lo siguiente: Podemos considerar el neutrón y el protón como 2 estados de la misma partícula, el nucleón N (en lo que respecta a la interacción fuerte, no al electromagnetismo). Como los neutrones y los protones son fermiones, la función de onda de 2 partículas idénticas (aquí 2 nucleones) debe ser antisimétrica debido al principio de Pauli. Si los 2 nucleones están en estado S para el espín, este estado es antisimétrico por intercambio de los 2 espines ( $|0,0> = \frac{1}{\sqrt{2}}(\uparrow \downarrow- \downarrow\uparrow)$ ). Esto significa que el intercambio del número de isospín debe ser simétrico para que la función de onda total: $\psi (NN) = \psi_{spin} \otimes \psi_{isospin}$ es antisimétrico. Ahora bien, las matemáticas del isospín son exactamente las mismas que las del espín. Cuando se combinan 2 espines 1/2, se puede obtener un espín total 0 que es antisimétrico (como se ha mencionado anteriormente) o un espín total 1 (que es simétrico). Del mismo modo, cuando se combinan 2 isopsinas, se puede obtener un isospín total 0 (que es antisimétrico) o un isospín total 1 (que es simétrico). Para satisfacer el principio de Pauli, sólo se permite el isospín total 1. Este estado es un triplete, porque cuando el isospín total $I=1$ se pueden tener 3 proyecciones de isospín $I_3 = 1,0,-1$ .

Answer 2

Lo único que tengo que añadir es responder a tu pregunta sobre el origen del -3 y el 1. En primer lugar, el operador de espín está relacionado con las matrices de Pauli por $$s_1 = \frac{1}{2}\sigma_1$$ y así tenemos la relación $$\sigma_1 \cdot \sigma_2 = 4 s_1\cdot s_2$$ A continuación, podemos evaluar $s_1\cdot s_2$ utilizando $$ S^2 = (s_1+s_2)^2 = s_1^2 + s_2^2 + 2 s_1\cdot s_2$$ $$ s_1 \cdot s_2 = \frac{1}{2} (S^2 - s_1^2 - s_2^2)$$ y así tenemos $$ \sigma_1\cdot \sigma_2 = 2(S^2 - \frac{3}{2} ) = 2S(S+1) - 3$$ que da como resultado -3 para $S=0$ y 1 para $S=1$ .