Suma de $(a+\frac{1}{a})^2$ y $(b+\frac{1}{b})^2$

Question

Pruébalo:

$$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{25}{2} $$

si $a,b$ son números reales positivos tales que $a+b=1$ .

He probado a ampliar las casillas y a reescribirlas de forma que $a+b$ es un término/parte de un término pero lo que obtengo es completamente contradictorio con lo que se pide probar

Answer 1

Para $E=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=a^2+b^2+1/a^2+1/b^2+4$ tienes $1=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\leq 2(a^2+b^2)$ Así que $a^2+b^2\geq 1/2$ . Además, $\frac{a+b}{2}\geq 2\sqrt{ab}$ así que $\frac{1}{(ab)^2}\geq 16$ . Esto implica $$E=a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+4\geq 9/2+8=\frac{25}{2},$$

porque $\frac{a^+b^2}{a^2b^2}\geq \frac{1}{2}\cdot 16=8$

Answer 2

Para su pregunta revisada, otra forma es observar que $(x + \frac1x)^2$ es convexo, así que por la desigualdad de Jensen: $$\left(a + \frac1a\right)^2 + \left(b + \frac1b\right)^2 \ge 2\left(\frac{a+b}2 + \frac2{a+b}\right)^2=2\left(\frac12 + 2\right)^2=\frac{25}2$$

Answer 3

Sin pérdida de generalidad podemos elegir $a=sin^2x$ y $b=cos^2x$ para $x \in \left(0 \: \frac{\pi}{2}\right)$

Ahora $$a^2+b^2=sin^4x+cos^4x=1-2sin^2xcos^2x=1-\frac{sin^22x}{2}=\frac{3+cos4x}{4} \ge \frac{1}{2}$$ con Igualdad en $x=\frac{\pi}{4}$

También $$2sinxcosx \le 1$$ $\implies$

$$\frac{1}{sin^4xcos^4x} \ge 16$$

Ahora por $CS$ Desigualdad $$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)(1^2+1^2) \ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2=(sec^2x+cosec^2x)^2=(sec^2xcosec^2x)^2=sec^4xcosec^4x=\frac{1}{sin^4xcos^4x} \ge 16$$ Así,

$$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)(1^2+1^2) \ge 16$$

$$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right) \ge 8$$

Así, $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \ge \frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}$$