Finito de fibra de esquema de morfismos es cero-dimensional?

Question

Deje $X$ $Y$ ser localmente Noetherian esquemas y $f:X\rightarrow Y$ ser un étale de morfismos de finito tipo. Deje $x\in X$$y=f(x)$. Me gustaría saber por qué la fibra $X_y$ es un cero-dimensional esquema. Esta es la declaración sin justificación Liu de la Geometría Algebraica. Por un anterior resultado, sabemos que $X_y$ es finito y reducido cuando la hipótesis anteriores mantienen. Esto parece intuitivamente ser suficiente para asegurar que es cero-dimensional (comparar a los colectores que consta de un número finito de puntos, por ejemplo), pero no sé cómo probar el uso de material de Liu.

He reconstruido la prueba de ello el uso de los teoremas de las Pilas proyecto que no he visto en Liu, pero Liu pasa por encima de ella en una frase sin explicación. Hay una manera fácil de ver es cierto?

Answer 1

Deje $f : X \to Y$ ser una de morfismos localmente finito de presentación.

1. $f : X \to Y$ es unramified si y sólo si todos sus fibras son unramified, por lo que podemos suponer $Y = \operatorname{Spec} k$.
2. $f : X \to \operatorname{Spec} k$ es unramified si y sólo si $X$ es un discontinuo de la unión de los afines esquemas de la forma $\operatorname{Spec} K$ donde $K$ es finita separables de extensión de campo de $k$.
3. Así que si $f : X \to \operatorname{Spec} k$ es unramified, a continuación, $X$ es discreto como un espacio topológico.

A ver (2), uno también puede asumir una $X$ es afín. Entonces el problema se reduce a álgebra conmutativa – más precisamente, a la estructura teorema de artinian anillos.