Quiero determinar si la siguiente afirmación es verdadera:
Deje $R$ ser cualquier anillo, y $V$ $R$- módulo que es una unión $V=\bigcup_{n=1}^\infty V_n$ de los submódulos $V_1 \subseteq V_2 \subseteq \dots$. Si cada una de las $V_i$ es proyectivo, entonces también lo es $V$.
Mi intento en una prueba es utilizar el lema de Zorn como sigue: vaya a $g : M \twoheadrightarrow N$ ser un surjective $R$-módulo homomorphism. Deje $f: V \to N$ ser un módulo homomorphism. Consideremos el conjunto a $S$ de los pares de $(V_i,f_i)$ donde $f_i : V_i \to M$ es tal que $g\circ f_i = f\big|_{V_i}$. Definir un orden parcial en $S$ $(V_i,f_i)\leq (V_j,f_j)$ si y sólo si $V_i \subseteq V_j$$f_j\big|_{V_i} = f_i$. La unión de la cadena da una cota superior, entonces por el lema de Zorn, existe un elemento maximal $(V_m,f_m)$$S$. El problema aquí es que no creo $V_m = V$ necesariamente, ya que no puede ser capaz de extender este particular $f_m$ a un mayor $V_i$.
Una posible contraejemplo a la instrucción es la siguiente: Vamos a $p_1,p_2,p_3,\dots$ ser los distintos números primos de $\mathbb{Z}^{>0}$. Set $V_i = \left(\prod_{k=1}^i p_k^i\right)^{-1}\mathbb{Z}$. A continuación, cada una de las $V_i$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo, de ahí proyectiva. Tenemos $\mathbb{Q} = \bigcup_{i=1}^\infty V_i$, e $V_1 \subseteq V_2 \subseteq \dots$, pero $\mathbb{Q}$ no es un proyectiva $\mathbb{Z}$-módulo.
¿Este contraejemplo de trabajo? Hay una forma más fácil contraejemplo?
