prueba de Zassenhaus fórmula para las exponenciales de operadores lineales

Question

El Zassenhaus fórmula es

$$e^{t(X+Y)}= e^{tX}~ e^{t} ~e^{-\frac{t^2}{2} [X,Y]} ~ e^{\frac{t^3}{6}(2[Y,[X,Y]]+ [X,[X,Y]] )} ~ e^{\frac{-t^4}{24}([[[X,Y],X],X] + 3[[[X,Y],X],Y] + 3[[[X,Y],Y],Y]) } \cdots$$

desde esta página de la Wikipedia.

$X$ $Y$ son operadores lineales, y $[X,Y]$ es su colector.

Yo sobre todo quiero demostrar que para el caso de que el colector de $X$ $Y$ es una constante, o simplemente la general de la prueba.

Lo que estoy buscando es una referencia a un lugar donde es probado o en menos algún empujón en la dirección correcta.

Hasta ahora he intentado ampliar la exponencial a ver si veo algo pero no tienen ideas tan lejos.

Answer 1

Si el caso $[X,Y]=c$ ($c$ una constante) es suficiente para usted: observe que $$\frac{d}{dt}e^{tX}e^{t}e^{-t^2c/2}=Xe^{tX}e^{t}e^{-t^2c/2}+e^{tX}Ye^{t}e^{-t^2c/2} -tc\,e^{tX}e^{t}e^{-t^2c/2} =(*).$$ Como $e^{tX}Ye^{-tX}=Y+ct$ (ver: la derivada de ambos lados es $c$ y el valor de$t=0$$Y$), tenemos $$(*)=(X+Y)e^{tX}e^{tY}e^{-t^2c/2}.$$ Si $F(t)=e^{tX}e^{tY}e^{-t^2c/2}$,$F(0)=1$$dF/dt=(X+Y)F(t)$, los cuales son la definición de las relaciones de $e^{tX+tY}$.