Interpretación geométrica de un resultado del álgebra conmutativa

Question

Me he encontrado con el siguiente resultado en Hartshorne, Geometría algebraica I.6.5 para los que tienen el libro.

El resultado dice que si $K$ es una extensión finitamente generada de algún campo base (algebraicamente cerrado) $k$ de grado de trascendencia $1$ y si $\mathcal{C}_{K}$ es el conjunto de anillos de valoración discreta de la extensión $K/k$ entonces tenemos que el conjunto $\left\lbrace R \in \mathcal{C}_{K} \mid x \notin R \right\rbrace $ es finito.

Así que, básicamente, si tomamos una función racional $x$ en una curva proyectiva suave, entonces el número de valoraciones discretas que $x$ es un elemento de es finito. ¿Podría alguien dar una interpretación geométrica de este resultado? Creo que eso mejoraría enormemente mi comprensión del álgebra conmutativa subyacente. Cualquier idea sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

La intuición es que si se escribe $K=\text{Quot}(R)$ para algún anillo de valoración discreto $R$ con elemento primo $\pi$ entonces esta presentación corresponde a fijar un punto en la curva, y escribir un elemento ('función meromorfa') de $K$ en la forma $\pi^k\varepsilon$ con $k\in{\mathbb Z}$ y $\varepsilon\in R^{\times}$ determina si tiene cero de orden $k$ (para $k\geq 0$ ) o un polo de orden $-k$ (para $k\leq 0$ ) en ese punto. Por lo tanto, la fijación de $x\in K$ y mirando a $R$ tal que $x\notin R$ significa mirar el conjunto de puntos en los que $x$ tiene un polo, del que sólo debería haber un número finito.