Digamos que $\mathcal{X}$ es un conglomerado si $\mathcal{X} = \{X_i: i \in I\}$ donde cada $X_i$ y $I$ son clases. El axioma de elección para los conglomerados es la afirmación: Siempre que $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$ son conglomerados y $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ es un mapa suryectivo, entonces $f$ tiene un inverso derecho.
El "axioma de elección de clases" y el "axioma de elección de conjuntos" (habitual) pueden definirse de forma obvia y análoga (es decir, "Siempre que $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$ son clases $\ldots$ etc." en el primer caso, y "Siempre que $X$ y $Y$ son conjuntos $\ldots$ El axioma de elección para las clases implica la existencia de una función de elección global (es decir, una función de clase que es una función de elección para la clase de todos los conjuntos no vacíos), y esta última es, a su vez, equivalente a la existencia de un buen ordenamiento del universo.
Pues bien, es bien sabido que el axioma de elección de los conglomerados implica que "toda categoría tiene un esqueleto" (véase, por ejemplo, el libro de Adamék/Herrlich/Strecker). Por otra parte, Isbell y Wright demostraron en los años 60 que la afirmación "Toda categoría tiene un esqueleto" implica la existencia de un buen ordenamiento del universo.
Mi pregunta es: considerando las siguientes afirmaciones,
"El axioma de elección para los conglomerados"
y
"Cada categoría tiene un esqueleto"
¿son declaraciones equivalentes? A primera vista, mi conjetura es que la respuesta es "Sí", pero no he encontrado ninguna referencia al respecto.
Añadido (1): En el libro de Freyd/Scedrov se muestra que el Axioma de Elección de Conjuntos es equivalente a la afirmación "Toda categoría pequeña tiene un esqueleto". Así que también me pregunto si hay alguna escala de equivalencias entre las formas del Axioma de Elección y las afirmaciones relativas a la existencia de esqueletos para ciertas categorías. Es decir, considerando afirmaciones como
"Toda categoría pequeña tiene un esqueleto",
"Cada categoría localmente pequeña tiene un esqueleto", y
"Cada categoría tiene un esqueleto", y quizás otras afirmaciones similares de este tipo,
¿podríamos poner cada una de ellas en correspondencia con alguna forma equivalente del Axioma de Elección? El primero es equivalente al Axioma de Elección de Conjuntos, como acabo de comentar.
Nota: He publicado, unas horas más tarde, la misma pregunta en MathOverflow, pero después me dijeron que ese no era el procedimiento correcto (debería esperar unos días y luego contactar con los moderadores y pedir que la pregunta sea migrada). Lo siento, no volveré a hacerlo.
Añadido (2): Después de recibir algunos comentarios parece que el fondo teórico de conjuntos debería estar más especificado. La pregunta se planteó asumiendo los fundamentos habituales de la teoría de categorías, pero, por supuesto, es una cuestión muy discutible. En un primer momento, podríamos pensar en ZFC + 2 inaccesibles, y luego en dicho entorno codificar las nociones de: conjunto, clase y conglomerado. Sin embargo, el hecho de que nos encontremos en el primer o en el segundo orden parece influir también en esta cuestión.
También me dijeron que, efectivamente, el axioma de elección de clases es equivalente al axioma de elección de conglomerados: El argumento de Eric Wofsey (ver su respuesta) me parece correcto.
Así que, supongo que, efectivamente, mi verdadera pregunta es: ¿cómo podemos definir con precisión un fondo (tanto categórico como teórico de conjuntos) en el que podamos analizar enunciados como los enumerados al final de la pregunta?
"Toda categoría pequeña tiene un esqueleto",
"Toda categoría pequeña local tiene un esqueleto",
"Cada categoría tiene un esqueleto", etc,
y ¿a qué formas del Axioma de Elección equivaldrían estas afirmaciones?
