Encontrar un bijection de $[0,1]$ $[0,1]$que no es estrictamente monótona. es esto posible?

Question

No estoy convencida de que esto es posible, tan pronto como usted ha $2$ distintos elementos de la cartografía para el mismo número, la función deja de ser $1$-$1$ y por lo tanto no es un bijection.

Answer 1

Deje $f(x) = x$ racional, $x$ $f(x) = 1-x$ para irracional $x$. Esta función no es sólo la no-monótona, es nada monótono (lo que significa que no es monótona en cualquier subinterval de $[0,1]$).

Answer 2

Cómo sobre la bijection $f:[0,1]\to [0,1]$ $f(x)=\begin{cases} x, \text{if}~~ 0<x<1\\ 1,\text{if}~~ x=0\\ 0,\text{if}~~ x=1\end{cases}$

Esto no es estrictamente monoton.

Answer 3

La observación de que si un bijection es monótono en $[0,1]$, se pueden construir a trozos no monótona de la función basada en la restricción de este bijection escala a intervalos más pequeños.

Por ejemplo, $f:\begin{cases} x\in[0,\frac 14[ & 4x^2\\ x\in[\frac 14,\frac 12[ & \dfrac 34-x\\ x\in[\frac 12,\frac 34[ & x\\ x\in[\frac 34,1] & \dfrac{\cos(4\pi x-3\pi)+7}8\end{casos}$