Para demostrar que $\int_0^\pi {x\,f(\sin x)\,} dx = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {f(\sin x)} \,dx$ es cierto, en primer lugar me comenzó a calcular la integral de la izquierda indefinidamente $$ \int {x\,f(\sin x)\,\,dx} $$ por medio de la sustitución: $$ \sin x = t,\quad x = \arcsin t, \quad {dx = \frac{{dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}}$$ se obtiene: $$ \int {x\,f(\sin x)\,\,dx} = \int {\arcsin t \cdot f(t) \cdot \frac{{dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}}$$ $$ \qquad\quad = \int {\frac{{\arcsin t\,dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }} \cdot f(t)} $$ A continuación, usando integración por partes: $$ \begin{array}{*{20}{c}} {u = f(t)},&{dv = \frac{{\arcsin t\,dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} \\ {du = f'(t)\,dt},&{v = \frac{{{{(\arcsin t)}^2}}}{2}} \end{array} $$ entonces: \begin{align*} \int {x\,f(\sin x)\,\,dx} &= f(t) \cdot \frac{{{{(\arcsin t)}^2}}}{2} - \int {\frac{{{{(\arcsin t)}^2}}}{2}} \cdot f'(t)\,dt \\ &= f(\sin x) \cdot \frac{{{x^2}}}{2} - \int {\frac{{{x^2}}}{2} \cdot f'(\sin x)\,\cos x\,dx} \\ \end{align*} Ahora, la evaluación de 0 a $\pi$ \begin{align} \int_0^\pi {x\,f(\sin x)} \,dx & = \left[ {f(t) \cdot \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^\pi - \int_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{2} \cdot f'(\sin x)\,\cos x\,dx} \\ \int_0^\pi {x\,f(\sin x)} \,dx & = f(0) \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \int_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{2} \cdot f'(\sin x)\,\cos x\,dx} \qquad ..[1] \\ \end{align} Por otro lado, hacer el mismo proceso con la integral en el lado derecho de recibir: \begin{equation}\int_0^\pi {f(\sin x)} \,dx = f(0) \cdot \pi - \int_0^\pi {x \cdot f'(\sin x)\,\cos x\,dx} \qquad ..[2] \end{equation} Y hasta aquí no tengo datos suficientes para decir que la igualdad $\int_0^\pi {x\,f(\sin x)\,} dx = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {f(\sin x)} \,dx$ es cierto.
¿Alguien puede sugerirme qué hacer con las igualdades [1] y [2]?
Gracias de antemano.
