Encontrar la forma cerrada para $\int_{0}^{1}\left(x^k+{\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx=f(k)$

Question

Encontrar la forma cerrada para

$$\int_{0}^{1}\left(x^k+{\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx=f(k)\tag0$$

Establecimiento $k=0$$f(0)=1$.

$f(k)$ parece ser números racionales para todos los valores de $k\ge0.$

Vamos a demostrar que

$$I=\int_{0}^{1}\left(1+{\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx=\color{red}{1}?\tag1$$

Expandir $(1)$

$$I=\int_{0}^{1}\left(1+{2\ln{x}\over 1-x}+{\ln^2{x}\over (1-x)^2}\right)dx=1$$

Estándar integral de la $$\int_{0}^{1}{\ln{x}\over 1-x}dx=-{\pi^2\over 6}$$

Entonces

$$I=1-{\pi^2\over 3}+\int_{0}^{1}{\ln^2{x}\over (1-x)^2}dx=1\tag2$$

$$J=\int_{0}^{1}{\ln^2{x}\over (1-x)^2}dx=\sum_{n=0}^{\infty}(1+n)\int_{0}^{1}x^n\ln^2{x}dx\tag3$$

Estándar integral de la $$\int_{0}^{1}x^n\ln^2{x}dx={2\over (1+n)^3}$$

$$J=\sum_{n=0}^{\infty}(1+n)\cdot{2\over (1+n)^3}={\pi^2\over 3}\tag4$$

Sustituto $(4)$ a $(2)$

$$I=1\tag5$$

Answer 1

Sugerencia. Suponga $a\ge0,\,k=0,1,2\ldots$. Se puede considerar $$ I_k(a):=\int_{0}^{1}\left (\cdot x^k+{\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx. $$ Entonces uno tiene $$ \begin{align} I_k'(a)&=2\int_{0}^{1} x^k\left(a\cdot x^k+{\ln{x}\over 1-x}\right)dx \\\\&=\frac{2 a}{2 k+1}+2\int_{0}^{1} {x^k\ln{x}\over 1-x}dx \\\\&=\frac{2 a}{2 k+1}+2\sum_{j=1}^k\frac1{j^2}-\frac{\pi^2}3. \end{align} $$ Integrating with respect to $$ da $$ I_k(a)=\frac{a^2}{2 k+1}+\left(2\sum_{j=1}^k\frac1{j^2}-\frac{\pi^2}3 \right)+C $$ where $C$ depends only on $k$. Putting $una:=0$ leads to $\displaystyle C=\int_{0}^{1}\left({\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx=\frac{\pi^2}3 $

$$ \int_{0}^{1}\left (\cdot x^k+{\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx=\frac{a^2}{2 k+1}+\left(2\sum_{j=1}^k\frac1{j^2}-\frac{\pi^2}3 \right)+\frac{\pi^2}3 $$

a partir de la cual se deduzca la buscó integral, poniendo a $a:=1$.

Answer 2

$$\int_{0}^{1}\left(x^k+{\ln{x}\over 1-x}\right)^2dx=\int_{0}^{1}x^{2k}dx+2\int_{0}^{1}x^k {\ln{x}\over 1-x}dx+\int_{0}^{1}{\ln^2{x}\over (1-x)^2}dx$$

Es obvio que:

$$\int_{0}^{1}x^{2k}dx=\frac{1}{2k+1}$$

Y la última integral está ya resuelto por usted.

El único integrante que puede causar problemas es:

$$\int_{0}^{1}x^k {\ln{x}\over 1-x}dx$$

Podemos tratar de resolver esta integral la siguiente manera:

$$\int_0^1 x^a \ln x dx = -\frac{1}{(a+1)^2}$$

$$a=k+l$$

$$\int_0^1 x^k \ln x \sum_{l=0}^{\infty} x^l dx = -\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{(k+l+1)^2}$$

$$\int_0^1 x^k \frac{\ln x}{1-x}dx=-\psi_1(k+1)=\frac{1}{k^2}-\psi_1(k)= \\ = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k-1)^2}-\psi_1(k-1)=\dots$$

Y:

$$\psi_1(1)=\frac{\pi^2}{6}$$

Creo que no hay ninguna más bonita expresión para general $k$.

---

En cuanto a por qué usted está consiguiendo números racionales - porque la tercera integral es igual a $\pi^2/3$, mientras que el segundo puede ser representado como:

$$2\int_{0}^{1}x^k {\ln{x}\over 1-x}dx=-\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{m=1}^k \frac{1}{m^2}$$

Answer 3

\begin{align*} \int_{0}^{1}\left ( x^k + \frac{\ln x}{1-x} \right )^2 \, {\rm d}x&= \int_{0}^{1}x^{2k} \, {\rm d}x + 2\int_{0}^{1}\frac{x^k \ln x} {1-x} \, {\rm d}x + \int_{0}^{1}\frac{\ln^2 x}{(1-x)^2} \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2k+1} + 2\int_{0}^{1}\frac{x^k \ln x} {1-x} \, {\rm d}x + \int_{0}^{1}\frac{\ln^2 x}{(1-x)^2} \, {\rm d}x \end{align*}

Ahora la segunda integral es fácil.

\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{x^k \ln x}{1-x} \, {\rm d}x &=\int_{0}^{1} x^k \ln x \sum_{n=0}^{\infty} x^n \, {\rm d}x \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1}x^{n+k} \ln x \, {\rm d}x\\ &= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( n+k+1 \right )^2}\\ &= -\psi^{(0)} (k+1) \\ &= -\zeta(2) + \mathcal{H}^{(2)}_k \end{align*}

Y, el último, el uso de la $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}x^n =\frac{1}{1-x}$ y la diferenciación de una vez tenemos que:

\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\ln^2 x}{\left ( 1-x \right )^2} &=\int_{0}^{1} \ln^2 x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \, {\rm d}x \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{0}^{1} x^{n-1} \ln^2 x \, {\rm d}x \\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3}\\ &=\frac{\pi^2}{3} \end{align*}

Por lo tanto:

$$\int_{0}^{1}\left ( x^k + \frac{\ln x}{1-x} \right )^2 \, {\rm d}x = \frac{1}{2k+1} +2 \mathcal{H}_k^{(2)}$$

Aquí $\displaystyle \mathcal{H}_k^{(2)}=\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n^2}$

Woops. Me quedó en tercer lugar. No importa, ya que yo escribí todo esto quiero dejar el mensaje.

Edit: Solucionado el error.