Teorema de Sard para variedades algebraicas

Question

(Una versión del) teorema de Sard afirma que:

Teorema (Sard): Dado $M$ y $N$ variedades suaves de dimensiones $m$ y $n$ respectivamente, y un mapa suave $f:M\to N$ entonces el conjunto de valores singulares de $f$ tiene medida cero.

Un corolario de esto es:

Corolario: Si $m<n$ entonces no existe ningún mapa suryectivo suave $f:M\to N$ .

Ahora, estoy bastante seguro de que mi prueba del siguiente hecho es correcta:

Reclamación: Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos variedades algebraicas irreducibles cuasi-proyectivas (sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ ) de dimensiones $m$ y $n$ respectivamente. Si $m<n$ entonces no existe ningún mapa suryectivo suave $f:X\to Y$ .

Prueba: Supongamos que existiera tal mapa $f:X\to Y$ . Entonces induciría un mapa inyectivo $f^*:K(Y)\to K(X)$ entre los campos de funciones racionales de las dos variedades. Sabemos que: $$\begin{array}{l}K(X)=k(x_1,\ldots,x_m)[u]\\K(Y)=k(y_1,\ldots,y_n)[v]\end{array}$$ donde $k(x_1,\ldots,x_m)$ es una extensión de campo puramente trascendental de $k$ y $u$ es algebraico sobre $k(x_1,\ldots,x_m)$ y de forma similar para $K(Y)$ . Considere los elementos $f^*(y_i)\in K(X)$ . Son trascendentales sobre $k$ En efecto, si existiera un polinomio $p\in k[z]$ con: $$0=p(f^*(y_i))=f^*(p(y_i))$$ entonces por inyectividad de $f^*$ tendríamos $p(y_i)=0$ , lo cual es una contradicción. Asimismo, estos elementos son algebraicamente independientes, ya que: $$0=p(f^*(y_1),\ldots,f^*(y_n))=f^*(p(y_1,\ldots,y_n))$$ implicaría una dependencia algebraica del $y_i$ 's. Así, los elementos $f^*(y_i)$ forman un conjunto algebraicamente independiente de elementos trascendentales de cardinalidad $n$ en $K(X)$ lo que contradice la suposición de que $X$ tenía dimensión $m<n$ .

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Esta última afirmación es casi idéntica al corolario del teorema de Sard, así que me preguntaba: ¿existe una versión del teorema de Sard para las variedades algebraicas, o un resultado similar que implique la afirmación anterior?

Answer 1

Como prometí escribir una respuesta voy a poner algunas cosas en común.

Para aclarar algunas cosas: El teorema de Sard establece que cualquier liso suryectivo (es decir $C^{\infty}$ ) mapa $f:X\to Y$ de las variedades suaves es genéricamente una inmersión (es decir: genéricamente en $X$ así como en $Y$ ). Ahora bien, en geometría algebraica el análogo a una inmersión en topología diferencial se llama morfismo suave de dimensión relativa $\dim X-\dim Y$ .

Dejemos que $X$ , $Y$ sean variedades sobre un campo $k$ . Entonces $f:X\to Y$ se llama lisa, si las fibras son variedades lisas, y $f$ es plana (suposición técnica). $f$ se llama de dimensión relativa $n$ si las fibras son de dimensión $n$ .

Ahora bien, si $f:X\to Y$ es un morfismo dominante de variedades (posiblemente singulares) sobre un campo de característica $0$ (como mencionó Alex, se obtienen contraejemplos en char $p$ ), entonces existe un conjunto abierto y denso $U \subset X$ tal que $f$ es suave en $U$ de dimensión relativa $\dim X-\dim Y$ .

Sin embargo, si desea una suavidad genérica de $f$ en $Y$ , necesitas $X$ para ser suave. Un contraejemplo fácil para el singular $X$ es el morfismo $X\to Spec(k)$ .

En cierto modo, se podría argumentar que estas afirmaciones son mejores que el teorema de Sard. Se puede ver esto si se mira el caso analítico complejo. Tienes la afirmación análoga para $X$ , $Y$ espacios analíticos complejos reducidos, $f$ holmórfico. ( $U$ será abierta y densa en la topología analítica de Zariski, que coincide con la topología algebraica de Zariski si $X$ , $Y$ son proyectivas). Ahora digamos, para simplificar, que $X$ , $Y$ son variedades complejas.

Se puede aplicar el teorema original de Sard a $f$ Al observar la base $C^{\infty}$ -estructura. Entonces sabes que el conjunto de valores singulares tiene medida $0$ . Sin embargo, el enunciado anterior nos da algo mejor, a saber, que el conjunto de valores críticos es el lugar cero de algunas funciones analíticas.

Por ejemplo, $f$ para ser una función no constante de una variable compleja. Según lo anterior, el conjunto de valores críticos y el conjunto de puntos críticos son conjuntos analíticos, y por tanto discretos (en realidad, esto se puede demostrar en este caso mediante una fácil aplicación de la teoría de funciones en una variable). Pero hay medidas $0$ conjuntos, que no son discretos (por ejemplo, la línea real en $\mathbb{C}$ ).

Como mencionó Alex, encontrarás los resultados algebraicos en los apuntes de Ravi Vakil, que puedes encontrar en Internet (se llaman Fundamentos de la geometría algebraica).

Si también te interesa el caso analítico, encontrarás los resultados en "Several Complex Variables VII - Sheaf theoretic methods in complex analysis" de Grauert et. al.