Probabilidad de 3 personas en una habitación de 30 teniendo el mismo cumpleaños

Question

He estado mirando el problema de cumpleaños (del http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem) y estoy tratando de averiguar cuál es la probabilidad de que 3 personas que comparten un cumpleaños en una sala de 30 personas. (En lugar de 2).

Pensaba que entendía el problema pero supongo que no ya que no tengo ni idea de cómo hacerlo con 3.

Answer 1

El problema del cumpleaños con 2 personas es bastante fácil porque encontrar la probabilidad de que el complementario del suceso "todos los cumpleaños distinto" es sencillo. Para 3 personas, la complementaria evento incluye "todos los cumpleaños distinto", "un par y el resto distintos", "dos pares y el resto distintas", etc. Para encontrar el valor exacto es bastante complicado.

La aproximación de Poisson es bastante bueno, aunque. Imaginar la comprobación de que cada triple y llamando un "éxito" si los tres tienen el mismo cumpleaños. El número total de éxitos es aproximadamente de Poisson con una media de valor ${30 \elegir 3}/365^2$. Aquí $30\elegir 3$ es el número de triples, y $1/365^2$ es la posibilidad de que cualquier particular triple es un éxito. La probabilidad de obtener al menos un éxito se obtiene a partir de la distribución de Poisson: $$ P(\mbox{ al menos un triple cumpleaños con 30 personas})\aprox 1-\exp(-{30 \elegir 3}/365^2)=.0300. $$

Esta fórmula se puede modificar para otros valores, cambiando de 30 o 3. Por ejemplo, $$ P(\mbox{ al menos un triple cumpleaños con 100 personas})\aprox 1-\exp(-{100 \elegir 3}/365^2)=.7029,$$ $$ P(\mbox{ al menos un doble cumpleaños con 25 personas })\aprox 1-\exp(-{25 \elegir 2}/365)=.5604.$$

La aproximación de Poisson es muy útil en la probabilidad, no sólo para los cumpleaños de los problemas!

Answer 2

Una fórmula exacta se puede encontrar en Anirban DasGupta, La coincidencia de cumpleaños, y el fuerte de cumpleaños problema: una revisión contemporánea, Revista de la Planificación Estadística e Inferencia 130 (2005), 377-389. Este documento afirma que si $M$ es el número de tripletes de la gente que tiene la misma fecha de nacimiento, $m$ es el número de días en el año, y $n$ es el número de personas, entonces

$$ P(W \ge 1) = 1 - \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} {m! n! \yo! (n-2i)! (m-n+i)! 2^i m^n} $$

No derivación o la fuente; creo que la idea es que el término correspondiente a $i$ es la probabilidad de que existen $i$ cumpleaños compartido por 2 personas cada uno y $n-2i$ cumpleaños con una persona cada uno.

En particular, si $m = 365, n = 30$ esta fórmula da $0.0285$, no muy lejos de Byron aproximación.

Answer 3

Esta cuestión ya ha sido vinculado a una pregunta acerca de la generalización para el caso de los $M$ personas con el mismo cumpleaños (la paradoja de Cumpleaños con M compartido cumpleaños), me gustaría añadir, la respuesta general. Comenzando con la expresión dada por Michael Lugo (una derivación se puede encontrar aquí), es más fácil obtener la solución general. En primer lugar, la expresión se puede simplificar mediante el uso de la caída de factoriales:

\begin{ecuación} \displaystyle P(W\ge1) = 1 - \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(n)_{2i}(m)_{n-i}}{i! 2^i m^n} \end{ecuación}

donde $(n)_k := n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$. El $i$ésimo término en la suma representa la probabilidad de tener $i$ distintos pares de personas.

Para generalizar este resultado observamos que el número 2 es sólo el tamaño de un par y puede ser sustituido por cualquier grupo mayor tamaño. Sin embargo, debemos ser cuidadosos, ya que los $2^i$ en el denominador es realmente $(2!)^i$ (véase la derivación para más detalles).

Por lo tanto, si queremos saber la probabilidad de que al menos $M$ personas de un grupo de $n$ comparten un cumpleaños, se suma sobre todos los tamaños de grupo menor que $M$, en sustitución de $2i$ en el numerador por $ki$ (donde $k$ es la suma del índice) y $2^i$ en el denominador por $(k!)^i$:

\begin{ecuación} \displaystyle P(W\ge1) = 1 - \sum_{k=2}^{M-1}\sum_{i=0}^{\lfloor n/k \rfloor} \frac{(n)_{ki}(m)_{n-i}}{i! (k!)^i m^n} \end{ecuación}

Answer 4

Como se ha señalado por Micheal Lugo la formulación dada por Anirban DasGupta es una respuesta exacta por este problema, sin embargo, una prueba formal es necesaria. He encontrado y verificado una solución por el Doctor Rick de Matemáticas Foro, abajo está el enlace

http://mathforum.org/library/drmath/view/56650.html

Su enfoque es la partición del espacio muestral de la siguiente manera:

   1.   none share a birthday
   2.   one pair shares a birthday
   3.   two pairs share different birthdays
   4.   three pairs share different birthdays
   :
 1+N/2. N/2 pairs share different birthdays
 2+N/2. three or more share a birthday

A continuación, señala una forma inteligente de recuento para cada partición por recoger los diferentes cumpleaños para cada par de persona. He probado y he llegado con la misma formulación como Anirban DasGupta. Para más detalles, por favor, eche un vistazo en el enlace de arriba!