¿Por qué es $H_5(K(\Bbb Z_n,4))$ ¿Finito?

Question

Quiero ver que la cohomología $H^i(K(\Bbb Z_n,4); \Bbb Z)$ comienza con $\Bbb Z_n$ en el grado 5. ¿Cómo sabemos que $\operatorname{hom}(H_5(K(\Bbb Z_n,4);\Bbb Z), \Bbb Z)$ es cero? Es decir, ¿por qué $H_5(K(\Bbb Z_n,4))$ ¿Finito?

Probablemente me estoy perdiendo algo obvio.

Answer 1

$K(Z_n,4)$ es el cuarto espacio de Eilenberg McLane, esto implica que $\pi_4(K(Z_n,4))=Z_n$ y $\pi_n(K(Z_n,4))=1$ para $n\neq 4$ . Ahora utiliza el teorema de Hurewicz, implica que $\pi_5(K(Z_n,4))\rightarrow H_5(K(Z_n,4),Z)$ es suryente, ya que $\pi_5(K(Z_n,4))=1$ , se deduce el resultado.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hurewicz_theorem

Answer 2

Si $G$ es un grupo finito, entonces la homología de $K(G,n)$ en cualquier grado es finito. Demostrar esto por inducción; existe la fibración del espacio de camino $K(G,n-1) \to * \to K(G,n)$ . Para $K(G,1)$ Obsérvese que para cualquier mapa de cobertura finito $X \to Y$ el mapa inducido en homología racional es inyectivo, y la cubierta universal de $K(G,1)$ es contraíble.

Ahora usa la secuencia espectral de Serre. Inductivamente, $K(G,n-1)$ tiene homología racional trivial. Porque el espacio total también lo tiene, y la base es simplemente conectada, $K(G,n)$ debe tener homología racional trivial. Porque $K(G,n)$ tiene un modelo dado por un complejo CW con un número finito de celdas en cada dimensión, su homología integral está finitamente generada, por lo que el teorema del coeficiente universal implica que su homología integral es finita.

Si no te importa la localización, una forma quizás más limpia de decir lo mismo es la siguiente: la racionalización $K(G,n-1)_{\Bbb Q}$ es contractible, y por lo tanto la larga secuencia exacta en grupos de homotopía muestra que $K(G,n)_{\Bbb Q}$ es contraíble. Desgraciadamente la racionalización no tiene sentido para grupos fundamentales arbitrarios, por lo que para arrancar este argumento hay que empezar por saber que $K(G,2)$ es racionalmente contraíble, y la mejor manera que conozco de hacerlo es la dada anteriormente. (Esto es similar a cómo un cálculo de Hurewicz de $\pi_n S^n$ tiene que empezar por saber $\pi_2 S^2$ .)