Integrar el uso de residuos teorema de

Question

Esta fue una pregunta en mi análisis complejo de llevar a casa final. Desde el semestre terminado y que los grados se han publicado creo que puedo publicarlo ahora.

Deje $a > 0$$b > 0$. Compruebe que

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{e^{a x}+e^{-b x}} = \frac{\pi}{(a+b) \sin{\left (\frac{a \pi}{a+b} \right )}} $$

(Usando El Teorema De Los Residuos)

Creo que tenemos que elegir un contorno rectangular que contiene exactamente una de las singularidades.

Answer 1

Reescribir el integrando como

$$\frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} x \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} x \right )}} $$

Por tanto considerar la integral de contorno

$$\oint_C dz \frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} z \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} z \right )}} $$

donde $C$ es el rectángulo con vértices $\pm R \pm i 2 \pi/(a+b)$. El contorno de la integral es entonces

$$\int_{-R}^R dx \frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} x \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} x \right )}} + i \int_0^{2 \pi/(a+b)}dy \frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} (R+i y) \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} (R+i y) \right )}} \\ + \int_{R}^{-R} dx \frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} (x+i 2 \pi/(a+b)) \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} (x+i 2 \pi/(a+b) \right )}} + i \int_{2 \pi/(a+b)}^0 dy \frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} (-R+i y) \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} (-R+i y) \right )}}$$

Debe quedar claro que la segunda y la cuarta de las integrales se desvanecen como $R \to \infty$, ya que tanto $a$ $b$ son positivos.

El contorno de la integral es también igual a $i 2 \pi$ veces el residuo en la pole $z=i \pi/(a+b)$. Por lo tanto, hemos

$$\left [1+e^{i \pi (b-a)/(a+b)} \right ]\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{\left (\frac{b-a}{2} x \right )}}{2 \cosh{\left (\frac{a+b}{2} x \right )}} = i 2 \pi \frac{e^{i \pi/2 \left (\frac{b-a}{a+b} \right )}}{(a+b) i}$$

El resultado de la siguiente manera después de un poco de álgebra.