Variación de la acción de Maxwell con respecto al vierbein - Teoría Einstein-Cartan

Question

Estoy usando la referencia "Geometría diferencial, teorías de calibre y gravedad" de M. Göckeler y T. Schücker y tengo problemas para variar correctamente el lagrangiano

$$ \mathcal{L}_M=\dfrac{1}{2g^2}F \wedge *F $$

con respecto al vierbein $e^a$ para encontrar el momento-energía de la acción de Maxwell.

Al hacer $e\rightarrow e+f$ en el lagrangiano anterior, encuentro $$ \mathcal{L[e+f]}_M-\mathcal{L[e]}_M=\dfrac{1}{g^2}f^c\left(\frac{1}{4} F^{ab}\epsilon_{abcd} e^d \wedge F+\frac{1}{2}F_{cb}e^b \wedge *|_eF\right). $$

Sin embargo, la respuesta correcta, presente en la referencia anterior, es

$$ \mathcal{L[e+f]}_M-\mathcal{L[e]}_M=\dfrac{1}{g^2}f^c\left(\frac{1}{4} F^{ab}\epsilon_{abcd} e^d \wedge F-\frac{1}{2}F_{cb}e^b \wedge *|_eF\right). $$

(la única diferencia es el signo menos en la expresión dentro de los corchetes)

Trabajé mucho, pero no pude identificar mi error. Entonces, ¿alguien sabe algo que no sea trivial en el tratamiento con las formas en este caso?

(En este caso, se utiliza la signatura lorentziana)

El cálculo completo que hice fue el siguiente:

Dado que

$$ \mathcal{L}_M[e]=\dfrac{1}{2g^2}F \wedge *F=\frac{1}{2g^2}\left[ \frac{1}{2}F_{ab} e^a \wedge e^b \wedge \left(\frac{1}{4}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}e^c \wedge e^d\right) \right] =\frac{1}{16g^2}\left( F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd} e^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge e^d \right) $$

Luego, al hacer $e \rightarrow e+f$, y descartar términos cuadráticos en $f$, llegamos a

$$ \mathcal{L}_M[e+f]-\mathcal{L}_M[e] =\frac{1}{16g^2} F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd} \left(f^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge e^d + e^a \wedge f^b \wedge e^c \wedge e^d + e^a \wedge e^b \wedge f^c \wedge e^d + e^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge f^d \right) =\frac{1}{16g^2} F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd} \left(2f^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge e^d + 2e^a \wedge e^b \wedge f^c \wedge e^d \right) =\frac{1}{8g^2} F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd} \left(f^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge e^d + e^a \wedge e^b \wedge f^c \wedge e^d \right) =\frac{1}{2g^2} \left(\frac{1}{4}F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}f^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge e^d + \frac{1}{4}F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}e^a \wedge e^b \wedge f^c \wedge e^d \right) =\frac{1}{2g^2} \left[f^a \wedge \left(\frac{1}{4}F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}\right) e^b \wedge e^c \wedge e^d + f^c \wedge \left(\frac{1}{4}F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}\right) e^a \wedge e^b \wedge e^d \right] =\frac{1}{2g^2} \left[f^a \wedge \left(\frac{1}{4}F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}\right) e^b \wedge e^c \wedge e^d + f^a \wedge \left(\frac{1}{4}F_{cb}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta ad}\right) e^c \wedge e^b \wedge e^d \right] $$

Y luego, tenemos $$ \mathcal{L}_M[e+f]-\mathcal{L}_M[e] =\frac{1}{2g^2} f^a \wedge \left[ \left(\frac{1}{4}F_{ab}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta cd}\right) e^b \wedge e^c \wedge e^d + \left(\frac{1}{4}F_{cb}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta ad}\right) e^c \wedge e^b \wedge e^d \right] =\frac{1}{2g^2} f^a \wedge \left[ F_{ab}e^b \wedge *|_e F + \left(\frac{1}{2}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta ad}\right) F \wedge e^d \right] =\frac{1}{2g^2} f^a \wedge \left[ F_{ab}e^b \wedge *|_e F + \left(\frac{1}{2}F^{\alpha \beta}\epsilon_{\alpha \beta ad}\right) e^d \wedge F \right] $$

Renombrando los índices, finalmente tenemos

$$ \mathcal{L}_M[e+f]-\mathcal{L}_M[e] =\frac{1}{g^2} f^c \wedge \left[\frac{1}{2} F_{cb}e^b \wedge *|_e F + \left(\frac{1}{4}F^{ab}\epsilon_{abcd}\right) e^d \wedge F \right] =\frac{1}{g^2} f^c \wedge \left[\left(\frac{1}{4}F^{ab}\epsilon_{abcd}\right) e^d \wedge F +\frac{1}{2} F_{cb}e^b \wedge *|_e F \right] $$

Esto no concuerda con la referencia debido al signo más (debería ser un menos) y, nuevamente, no pude identificar dónde hice algo mal.

Answer 1

Entiendo la notación en el libro de esta manera \begin{eqnarray} e^a \wedge e^b \wedge \star |_e F &\equiv;& e^a \wedge e^b \wedge \star F\;\\ &=& F \wedge \star (e^a \wedge e^b)\;\\ &=& \star (e^a \wedge e^b) \wedge F\;. \end{eqnarray} Ahora en la definición más precisa de la dualidad de Hodge (en la prueba desde la definición hay un paso de intercambio de índices para obtener un resultado más simétrico, pero no los intercambiamos aquí al principio) tenemos \begin{equation}\boxed{ \star (f^a \wedge e^b) =\frac 1 2 \epsilon^{abcd} f_c \wedge e_d }\;. \end{equation> En el caso de $\star(e \wedge e)$, no hay problemas al intercambiar los índices \begin{equation> \frac 1 2 \epsilon^{abcd} e_c \wedge e_d = \frac 1 2 \epsilon^{ab}{}_{cd}\, e^c \wedge e^d \;. \end{equation> Pero en el caso de $\star(f \wedge e)$ tenemos \begin{eqnarray> \star (f^a \wedge e^b) &=& \frac 1 2 \epsilon^{abcd} f_c \wedge e_d \\ &=& \frac 1 2 \epsilon^{ab}{}_{ef} \eta^{ce} \eta^{fd} f_c \wedge e_d \\ &=& \frac 1 2 \epsilon^{ab}{}_{ef} \eta^{ce} f_c \wedge e^f \\ &=& - \frac 1 2 \epsilon^{ab}{}_{ef} f^e \wedge e^f\;. \end{eqnarray> Esto es porque $e$ cumple con las leyes de transformación \begin{eqnarray> e^a &\longmapsto& e^a+f^a \\ e_a &\longmapsto& e_a-f_a \\ && \eta^{ab}f_a=-f^b\;. \end{eqnarray> Con \begin{equation> f^a \wedge e^b \wedge \star |_e F = \star(f^a \wedge e^b) \wedge F =- \frac 1 2 \epsilon^{ab}{}_{cd} f^c \wedge e^d \wedge F \end{equation> podemos obtener el mismo resultado que se muestra en la referencia.

Answer 2

Lo siento por tener que desenterrar este hilo, pero tengo el mismo problema que tuvo el autor. Resumamos: el usuario148471 estaba tratando de decir que

1. Tenemos que hacer la sustitución $e^a \mapsto e^a + f^a $, y DESPUÉS calcular la dualidad de Hodge, no al revés.
2. Obtenemos $$\star (e^a \wedge e^b)= \frac{1}{2} \epsilon ^{ab}_{\quad cd}e^c \wedge e^d$$ PERO $$\star (f^a \wedge e^b) = -\frac{1}{2} \epsilon ^{ab}_{\quad cd}f^c \wedge e^d.$$
3. Definimos $f_a$ como $$f_a:=-g_{ab}f^b=-\eta_{ab}f^b,$$ por lo tanto $$\eta^{ab}f_a=-\eta^{ab}\eta_{ac}f^c=-\delta ^b _{\ c}f^c=-f^b$$

En cuanto al punto 2. La fórmula $$\star (f^a \wedge e^b) = -\frac{1}{2} \epsilon ^{ab}_{\quad cd}f^c \wedge e^d.$$ resolvería el problema. Pero ¿es correcta? La fórmula parece no tener sentido ya que $f^a,\ a=0,1,2,3$ son cualquier variación de 1-formas de la base. ¿Qué pasa si tomamos $$f^a :=e^a,\ a=0,1,2,3?$$ Entonces tendremos $$\star (f^a \wedge e^b)=\star (e^a \wedge e^b)$$ y $$-\frac{1}{2} \epsilon ^{ab}_{\quad cd}e^c \wedge e^d=-\frac{1}{2} \epsilon ^{ab}_{\quad cd}f^c \wedge e^d=\star(f^a \wedge e^b)=\star (e^a \wedge e^b)=\frac{1}{2} \epsilon ^{ab}_{\quad cd}e^c \wedge e^d.$$ Esto nos dice que $$\star (e^a \wedge e^b)=0,$$ pero ¿por qué debería ser igual a 0? Cuando $a=b$ entonces $$\star (e^a \wedge e^b)=0,$$ pero $a$ y $b$ no tienen que ser iguales.