¿La unión de dos variedades irreductibles es irreducible? (referencia + real fied)

Question

La siguiente definición y teorema están tomados de J.M. Landsberg, Tensores: Geometría y Aplicaciones, Estudios de Posgrado en Matemáticas, v. 128 (p. 118)

Definición 5.1.1.1: El $join$ de dos variedades $X$ , $Y$ es $$ J(X,Y)= \overline { \bigcup\limits_ {x \in X,\ y \in Y,\ x \ne y} \mathbb P^1_{xy}}. $$ Teorema 5.1.1.4: Las uniones y las variedades secantes de variedades irreductibles son irreductibles.

Para la prueba el autor se refiere a la página 144 de Joe Harris, Geometría Algebraica: Un primer curso. Pero este libro contiene la prueba sólo para las variedades secantes.

No he encontrado ningún otro libro o documento donde la declaración

"La unión de dos variedades irreductibles es irreducible

se formula explícitamente. Y no he encontrado la prueba.

Pregunta 1: ¿Dónde puedo encontrar la prueba de las uniones de las variedades que se cruzan?

Pregunta 2: ¿La declaración se mantiene $ \mathbb R$ ? Apreciaré cualquier referencia aquí.

Answer 1

Lemma. Deja que $X$ ser una variedad irreducible dentro de un herbívoro, $X \subset G(k, \mathbb {P}^n)$ . Luego la unión de los aviones K en $ \mathbb {P}^n$ es irreducible.

prueba. Considere la correspondencia de incidencia $\{(p,V), p \in V\} \subset\mathbb {P}^n \times X$ . Ahora es fácil ver que la unión de los aviones K en $X$ es irreducible en $ \mathbb {P}^n$ . \qed

Como corolario, la unión es irreducible. La imagen de $X \times Y ---> Gr(1,n)$ es irreducible. Por lo tanto, la unión de las líneas que se unen $X$ y $Y$ también es irreducible.