¿Cómo puedo combinar transformaciones afines en una matriz?

Question

Así que por lo que entiendo de esta imagen, el cuadro se estira hasta el doble de su ancho. Y luego se volcó desde el eje x. Y entonces se gira 30 grados en sentido antihorario.

Así pues, estas tres transformaciones de Escala, entonces la Reflexión luego de la Rotación.

Cómo se supone que voy a ir para responder a este problema. También, se dice que homogénea de matriz 2d, esto es confuso para mí, porque al convertir coordenadas cartesianas a coordenadas homogéneas, se va de 2d - 3d. Esta pregunta está diciendo homogéneo, sino que es puramente 2d transformación, esto puede resultar confuso.

Cualquier ayuda se agradece.

EDIT: Final matrices:

La ampliación de la matriz es... $$\begin{bmatrix}2& 0& 0\\ 0& 1 & 0\\0& 0 & 1\end{bmatrix}$$ La traducción de la matriz es... $$\begin{bmatrix}1& 0& 3\\ 0& 1 & -1\\0& 0 & 1\end{bmatrix}$$ Y la matriz de Rotación es...$$\begin{bmatrix}cos(30)& -sin(30)& 0\\ sin(30)& cos(30) & 0\\0& 0 & 1\end{bmatrix}$$

Es ese derecho? Ahora simplemente la matriz de multiplicar?

Answer 1

Usted no puede representar tal transformar, por $2 \times 2$ de la matriz, ya que dicha matriz representa un lineal de mapeo del plano bidimensional (o una afín a la cartografía de la one-dimensional de la línea), y por lo tanto, siempre map$(0,0)$$(0,0)$.

Así que usted necesitará utilizar un $3 \times 3$ de la matriz, ya que se necesita para representar afín a las asignaciones. Si usted representa el punto de $[x,y]$ como el vector $(x,y,1)^T$, entonces la matriz $$ T_{u,v} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & u \\ 0 & 1 & v \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ representa la traducción en la dirección $[u,v]$, es decir $$ T_{u,v} [x,y] = T_{u,v}(x,y,1)^T = (x+u,y+v,1) = [x+u,y+v] \text{.} $$

Para encontrar la representación de un lineal de asignación como un $3 \times 3$ matriz, simplemente tome la $2\times 2$ matriz que representa la asignación en euclidiano de dos dimensiones del espacio, y embedd en un $3 \times 3$ matriz como esta $$ \begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{.} $$ Por ejemplo, representan una rotación alrededor del origen (que es un mapeo lineal) $$ R_\varphi = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{.} $$ Usted puede utilizar normal de la multiplicación de la matriz de combinar la representación de la matriz de affice asignaciones - por ejemplo, para rotar alrededor del punto de $[u,v]$, calcular el producto de la matriz $$ T_{u,v} R_\varphi T_{-u,-v} \text{,} $$ que dice simplemente "cambiar el centro de rotación con el origen, la rotación alrededor del origen y el cambio de la espalda".