¿Un presheaf que es un sumando directo de un sheaf es necesariamente un sheaf?

Question

Digamos que $X$ es un espacio topológico y consideremos las categorías de tramas y pretramas de grupos abelianos sobre $X$ . Supongamos que tenemos un presheaf que es un sumando directo (en la categoría de presheaves) de un sheaf. ¿Podemos concluir que el preseaf es también una gavilla? ¿Y si suponemos además que el sumando directo complementario también es un conjunto?

Sé que en general los colimits en la categoría de gavillas difieren de los de la categoría de pregavillas, y en general el cociente de dos gavillas (en la categoría de pregavillas) no necesita ser una gavilla (creo). Pero tal vez el hecho de que las cosas estén divididas nos ayude.

¿Y en el contexto general de las gavillas y pregavillas en un sitio?

Answer 1

Si la presheaf $\mathcal G$ es un sumando de la gavilla $\mathcal F$ visto como un presheaf, entonces hay un morfismo de presheaves $\mathcal F\to\mathcal F$ que tiene $\mathcal G$ como su núcleo. Ahora bien, un mapa de preeslabones entre láminas es un mapa de láminas, y el núcleo de un mapa de láminas es una lámina.

(Introduciendo la palabra sitio en la imagen no cambia nada, por lo que veo...)