Demostrando que el problema de asignación de $f: P(x,\Bbb R) \to P(x,\Bbb R)$, el cual se asigna el polinomio $p(x)$ a el polinomio $p(x-1)$, es el isomorfismo

Question

Mi ejemplo: Demostrar que el problema de asignación de $f: P(x,\Bbb R) \to P(x,\Bbb R)$, el cual se asigna el polinomio $p(x)$ a el polinomio $p(x-1)$, es el isomorfismo.

Mi solución: tenemos $p(x)\to p(x-1)$ e se puede escribir como

$a_0 + a_1x + a_2x^2 +...+a_nx^n \to a_0 + a_1(x-1) + a_2(x-1)^2 +...+a_n(x-1)^n $

La base de la $p(x)$ $\{1,x,x^2,...\}$ y la base de la $p(x-1)$ $\{1,x-1,(x-1)^2,...\}$ que es la base de la imagen.

• Ambas bases son infinitas por lo que el vector de los espacios de nuestro polinomios son también infinitas.

El polinomio en sí no puede ser infinito, tiene cierto grado, por ejemplo, $n$ y podemos ver que $1$ se asigna a $1$, $x \to (x-1)$,..., $x^n \to (x-1)^n$, así que nuestro transformación lineal es inyectiva.

$f: P(x,\Bbb R) \to P(x,\Bbb R)$ es, obviamente, un endomorfismo.

• En mi libro está escrito que si algunos lineal de asignación es el endomorfismo y un monomorphism (inyectiva) debe ser, también, un epimorphism (surjective) y el isomorfismo es tanto el monomorphism y la epimorphism, pero para el finito de espacios vectoriales, entonces, ¿qué acerca de este "infinito" ejemplo?

Creo que es obvio que mi dado de asignación es isomorfismo (que es en realidad una automorphism), pero es más adecuada manera de demostrarlo?

Answer 1

Todo lo que tienes que decir es que el mapa que los mapas de cada $p(x)$ $p(x-1)$es lineal (obvio, ya que $(p+q)(x-1) = (p(x-1) + q(x-1)),$) y invertible, el inverso de ser $p(x) \to p(x+1).$

Answer 2

Deje $\Lambda: P(x,\Bbb R)\to P(x,\Bbb R)$ ser dado por $(\Lambda p)(x) = p(x-1)$ todos los $x\in \Bbb R$.

Entonces usted necesita para probar $2$ cosas:

1. $\Lambda$ es lineal.
2. $\Lambda$ es invertible.

Sugerencias:

1. Usted solo debe mostrar $$(\Lambda (p_1 + kp_2))(x) = \cdots = (\Lambda p_1)(x) + k(\Lambda p_2)(x)$$ for all $x\in \Bbb R$. El uso de la definición de la suma y de múltiples funciones.
2. Intuitivamente, es claro que el inverso $\Lambda^{-1}:P(x,\Bbb R) \to P(x,\Bbb R)$ es la función dada por $(\Lambda^{-1}p)(x) = p(x+1)$. Lo demuestran.