número complejo poder divisible por 6

Question

De hecho tengo una pregunta complementaria a este post , dado que n es un entero positivo tal que $z^n = (z+1)^n = 1$, necesito demostrar que n es divisible por 6. ¿Ahora puedo mostrar que $z$ y $z+1$ ambos mienten en el círculo unitario, pero esto puede ser de ayuda me?

Answer 1

Como han notado, $|z|=1$ y $|z+1|=1$ y así $z$ es en la intersección del círculo unidad centrada en el origen con el círculo de la unidad centrado en $-1$.

Los puntos de intersección de dos de estos círculos son las raíces cúbicas primitivas de la unidad: $\omega$ y $\omega^2$.

Ahora $\omega^2+\omega+1=0$ y así $1+\omega=-\omega^2$ y $1+\omega^2=-\omega$.

El resultado sigue porque $-\omega$ y $-\omega^2$ son primitivos $6$-th raíces de la unidad.

Answer 2

Tenga en cuenta que % $ $$z^n=1 \implies z = e^{i2\pi k/n}, \tag 1$donde $k \in \mathbb{Z}$. Asimismo, $$(1+z)^n = 1 \implies 1+z = e^{i2\pi r/n} \implies 1=e^{i2\pi r/n}-e^{i2\pi k/n},\tag 2$ $ donde $r \in \mathbb{Z}$.

Ahora $ de $$e^{i2\pi r/n}-e^{i2\pi k/n} = 2e^{i\pi (r+k)/n}\sin\left(\frac{\pi(r-k)}{n}\right)=1 \implies \sin\left(\frac{\pi(r-k)}{n}\right)=\pm \frac{1}{2}.\tag 3$, $$\frac{\pi(r-k)}{n}=\pm\frac{\pi}{6}+t\pi, \tag 4$ $ donde $t \in \mathbb{Z}$. Simplificar $(6)$ $$n = \pm\frac{6(r-k)}{1+6t}.$ $ para observar que $n$ es un número entero y $\gcd(6,1+6t)=1$. Por lo tanto, $n=6p$, donde $p \in \mathbb{Z}$.