¿Qué justifica la compactación del espacio y del espaciotiempo, en el contexto de los instantones?

Question

Al estudiar los instantones de Yang-Mills, hay dos casos en los que se compacta un espacio.

• Al clasificar los estados de vacío, se exige $A_\mu(\mathbf{x})$ para convertirse en una constante como $\mathbf{x} \to \infty$ .
• Al encontrar soluciones instantáneas, se exige $A_\mu(x)$ para convertirse en una constante como $x \to \infty$ .

Podemos entonces compactar el espacio y el espaciotiempo para $S^3$ y $S^4$ respectivamente. Hasta pequeñas transformaciones gauge, encontramos que los estados de vacío se clasifican por $\pi_3(G)$ mientras que los instantones se clasifican en función de las características topológicas $G$ -fondos en $S^4$ que también están indexados por $\pi_3(G)$ .

Estas suposiciones son absolutamente cruciales para que los argumentos topológicos funcionen, pero no he visto que se justifiquen. La mayoría de los libros de texto dicen que estas condiciones son necesarias para que las soluciones tengan energía finita y acción euclidiana finita, respectivamente, pero eso simplemente no es cierto. Por ejemplo, podría realizar una gran transformación gauge en cualquiera de los dos casos para dar $A_\mu$ cualquier dependencia que quiera en el infinito espacial o espacial, y esto no cambia la energía/acción, por invariancia gauge.

Tampoco he obtenido ninguna aclaración de fuentes matemáticamente rigurosas, porque tienden a compactar el espacio inmediatamente, sin ninguna justificación o comentario físico. ¿Cuál es el verdadero argumento?

Answer 1

La justificación de la compactación a $S^3$ y $S^4$ es diferente.

En el primer caso (compactación del espacio), la compactación puede explicarse como sigue: (Esta es una explicación física plausible, no una prueba matemática completa).

Creemos que el modelo de Skyrme explica el comportamiento a baja energía de la QCD. Hay muchos resultados experimentales que apoyan esta suposición. En particular, este modelo es capaz de predecir ciertas propiedades incluso para los bariones pesados dentro del 10% de los valores experimentales. El número de bariones en este modelo viene dado por: $$B = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\mathrm{space}}\mathrm{Tr} \left ( U^{-1}dU \wedge U^{-1}dU \wedge U^{-1}dU \right ) $$ Si el espacio es plano, el número bariónico de cualquier barión de masa finita desaparece. Por lo tanto, el espacio plano no admite bariones. Por favor, observad que esta consecuencia es muy fuerte físicamente porque nos dice que el espacio-tiempo que es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein de la gravitación debe ser compacto en los cortes espaciales.

En el caso de los instantones, podemos seguir estando en un espacio-tiempo físico minkowskiano. Las soluciones en la firma euclidiana sólo corresponden a eventos de túnel en el espacio-tiempo físico. Este es el truco básico del uso de la firma euclidiana. Sucede que estas soluciones, si se restringen a una energía finita, deben desaparecer en el infinito euclidiano, describiendo así efectivamente soluciones en un espacio-tiempo euclidiano compactado, pero las amplitudes de estas soluciones corresponden a verdaderas amplitudes de tunelización en el espacio-tiempo físico minkowskiano.

Observaciones:

Matemáticos(1): Los matemáticos no tienen interés en una explicación física de por qué el espacio-tiempo está compactado. Eligen cualquier espacio-tiempo que se adapte al resultado matemático que necesitan. Así que no creo que se puedan encontrar este tipo de explicaciones en trabajos matemáticamente rigurosos.

Matemáticos(2): Los matemáticos que se dedican a la investigación de la teoría cuántica de campos utilizan la maquinaria functorial qft (especialmente en tqft). Según esta forma de pensar, una teoría cuántica de campos no es más que una caja negra que acepta una variedad como entrada y devuelve un espacio de Hilbert en la salida, es decir, la misma teoría no está definida en una única variedad espacio-temporal, y puede utilizarse simultáneamente en variedades compactas y no compactas con firmas minkowskianas o euclidianas.

Calibre grande: No se pueden aplicar transformaciones gauge grandes sobre los instantones, porque si se hace se obtiene otra configuración no equivalente con un número de instantón diferente. Las transformaciones gauge grandes no son redundancias en la descripción de la teoría de campo como lo son las transformaciones gauge pequeñas. Las grandes transformaciones gauge son simetrías que conectan configuraciones no equivalentes. Son singulares en el infinito, por lo que son transformaciones gauge inaceptables. Este tema se ha discutido aquí en PSE en varias ocasiones.