Que $\omega$ denotan la cardinalidad infinito numerable y $A$ una cardinalidad estrictamente mayor que (es decir, una incontable). ¿Es cierto que $A^\omega$ tiene cardinality terminantemente mayor que $A$?
Respuesta
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No, no es necesariamente cierto. Por ejemplo, supongamos $A$ ser la cardinalidad del conjunto de Cantor, $2^{\aleph_0}$. A continuación,$A^\omega=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{(\aleph_0\times\aleph_0)}=2^{\aleph_0}=A$.
Por otro lado, no es necesariamente falsa. Por ejemplo, si $A$ es el supremum de la secuencia de $\aleph_0,2^{\aleph_0},2^{2^{\aleph_0}},\dots$,$A^\omega>A$.
Esto es debido a que, en general, de hecho, debido a la König: El cofinality ${\rm cf}(A)$ de un cardenal $A$ es el más pequeño de $\kappa$ tal que $A$ puede ser escrito como una unión de $\kappa$ conjuntos, cada uno de tamaño menor que $A$. König mostró que $A^{{\rm cf}(A)}>A$ cualquier $A$ infinito--esta es una generalización de Cantor más fácil resultado que $2^\kappa>\kappa$. El $A$ en el párrafo anterior explícitamente ha cofinality $\omega$.
