Suma de secuencia simple

Question

Esta es una pregunta bastante simple, estoy seguro, pero parece tener problemas. Cuál es el resultado de la siguiente secuencia:

$$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+ .... + \frac{n}{2^{n}}.$$ ?

Gracias

Answer 1

$$ 2S_n-S_n = \left (\frac11+\frac {2} {2} + \frac {3} {4} + \cdots + \frac{n}{2^{n-1}}\right)-\left (\frac {1} {2} + \frac {2} {4} + \frac {3} {8} + \cdots+ \frac{n}{2^{n}}\right)\ = 1 + \frac {1} {2} + \frac {1} {4} + \cdots+ \frac{1}{2^{n-1}}-\frac n {2 ^ n} = \frac 2 {n +2} {2 ^ n}. $$

Answer 2

Sugerencia: Tomando el derivado de $\sum_{i=0}^n p^i=\frac{1-p^{n+1}}{1-p}$ con respecto a los $p$ y alguna manipulación le dará el resultado.

Answer 3

$$\begin{align} \sum{k=1}^n\frac{k}{2^k}&=\sum{k=1}^n\frac{1}{2^k}\sum{j=1}^k(1)\\ &=\sum{j=1}^{n}\sum{k=j}^{n}\frac{1}{2^k}\\ &=\sum{j=1}^{n}\frac{(1/2)^j-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}\\ &=2\sum_{j=1}^{n}\left((1/2)^j-(1/2)^{n+1}\right)\\ &=-2n(1/2)^{n+1}+2\frac{(1/2)-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}\\ &=2-(1/2)^{n-1}-n(1/2)^n \end {Alinee el} $$