Demostrar que $(a+1)(a+2)...(a+b)$ es divisible por $b!$

Question

El problema es el siguiente, probar que:

$$(a+1)(a+2)...(a+b)\text{ is divisible by } b!\text{ for every positive integer a,b}$$

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He tratado de resolver este problema usando inducción matemática, pero no creo que lo hice bien. Aquí está lo que he hecho

$1.\ b=1\ (Basis)$

$$b!| (a+1)(a+2)...(a+b)$$ $$1 | a+1 \text{, which is true}$$

$2.\ b=k\ (Induction\ Hypothesis)$

$$k! | (a+1)(a+2)...(a+k)\text{, we assume it's true}$$ $$k!*n = (a+1)(a+2)...(a+k)\text{, n is some positive integer}$$

$3.\ b=k+1\ (Inductive\ Step)$

Con el fin de demostrar que debo conseguir:

$$(k+1)!*m = (a+1)(a+2)...(a+k)(a+k+1)\text{, where m is some positive integer}$$ $$(a+1)(a+2)...(a+k)(a+k+1) = k!*n*(a+k+1)$$ $$(a+1)(a+2)...(a+k)(a+k+1) = (k+1)!*n + k!*n*a$$ $$(a+1)(a+2)...(a+k)(a+k+1) - a(a+1)(a+2)...(a+k) = (k+1)!*n$$ $$(a+1)(a+2)...(a+k)(k+1) = (k+1)!*n$$

Y como puedes ver estoy volviendo al principio.

También he intentado usar el hecho de que en b números consecutivos, debe haber al menos uno que divide a b, pero desde que eliminar ese número (porque yo no podía estar seguro de que el cociente es divisible entre (b-1) o (b-2) o ... o 2. Y después de esto no se puede continuar con (b-1) el uso de este método, porque no es necesario para el otro (b-1) para ser consecutivos.

Answer 1

Usted puede hacer la inducción simultáneamente en $a$$b$.

Base. Si $a=0$ la declaración es claramente cierto. Si $b=0$ también es cierto (vacío de un producto es igual a uno).

Inductivo hipótesis. Supongamos que el enunciado es verdadero si disminuimos $a$ o $b$ por uno. Más precisamente, vamos a $L(a,b)$ denotar la declaración por $a$$b$. Suponemos que $L(a-1,b)$ $L(a,b-1)$ son verdaderas.

Inductivo paso.Escribir: $$ \begin{align} & (a+1) \ldots (a+b-1) (a+b) \\ = \, a & (a+1) \ldots (a+b-1) \\ + \quad & (a+1) \ldots (a+b-1) b \\ \end{align} $$ El primer término se divide $b!$ porque $L(a-1,b)$ es cierto. El segundo término se divide $b!$ porque $L(a,b-1)$ es cierto.

Answer 2

$${a+b \choose b} \text{ is always an integer, so therefore $b! % $ $ divides your expression}$

Answer 3

$$ \frac{(a+b)(a+b-1)(a+b-2)\cdots(a+1)}{b(b-1)(b-2)\cdots3\cdot2\cdot1} = \binom {a+b} coeficientes {b} $$ desde binomial aparecen en el triángulo de Pascal, son números enteros.