Grupo de Galois de $x^8+x^4+1$

Question

Como sugiere el título, mi objetivo es caracterizar el grupo de Galois de la división de campo de la polinomio $x^8+x^4+1$$\mathbb{Q}$. Es decir, si $L$ es la división de campo de la $x^8+x^4+1$, quiero saber que es lo $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ es.

Sé que las raíces del polinomio son \begin{equation} \sqrt[4]{\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}}\zeta_4^k, \end{equation} donde $\zeta_4$ es el 4 º de la raíz de la unidad. Y aquí es donde tengo el problema: encontrar la división de campo de $L$, tengo que lindan con algunas de las raíces hacia arriba. Claramente tengo que lindan $\zeta_4$, cuyo grado es 2. La pregunta es: ¿cuáles son los otros? ¿Me tocan sólo $\sqrt[4]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}$ (cuyo grado es de 8, por lo que la resultante grado de $L$ $\mathbb{Q}$ es de 16) o $\sqrt[4]{\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}}$ así?

Soy nuevo en este tipo de preguntas, así que por favor me guía.

Gracias!

Answer 1

Como Arthur se mencionó, las raíces se $12^{\text{th}}$ raíces de $1$. Observar que $\zeta_{12}^8+\zeta_{12}^4+1=\zeta_{3}^2+\zeta_{3}+1=0$. Así que las cuatro primitivas $12^{\text{th}}$ raíces de $1$ satisfacer el polinomio. Del mismo modo, $\zeta_{6}^8+\zeta_{6}^4+1=\zeta_{3}+\zeta_{3}^2+1=0$, e $\zeta_{3}^8+\zeta_{3}^4+1=\zeta_{3}^2+\zeta_{3}+1=0$, lo que cuenta para el resto de las raíces. Por lo tanto, el campo que te interesa es sólo $\mathbb Q(\zeta_{12})$.

El grupo de Galois de este campo puede ser entendido por su acción sobre el grupo de $12^{\text{th}}$ raíces de $1$, que es isomorfo a $\mathbb Z/12$. Desde los primitivos $12^{\text{th}}$ raíces de $1$ son todos conjugado, podemos enviar cualquier generador de este grupo de raíces a cualquier otro, y por lo tanto el grupo de Galois es $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/12)\cong (\mathbb Z/12)^\times\cong \mathbb Z/2\times \mathbb Z/2$.

Answer 2

Otra manera de mirar esto:\begin{align} X^8+X^4+1&=(X^4-X^2+1)(X^2-X+1)(X^2+X+1)\ &=\Phi_{12}\Phi_6\Phi_3\,, \end {Alinee el} donde $\Phi_n$ la ciclotómicas polinomio, cada irreducible, con raíces de las raíces de primitivo $n$-th de la unidad.

Por lo tanto el campo división es $\Bbb Q(\zeta_{12})$, grupo de Galois bien descrito por @BrettFrankel.