si $f$ es una función Continua en a $[a,b]$ $g$ es Riemann integrable y no negativa en $[a,b]$ existe $\xi\in [a,b]$ y $$ \int_{a}^{b}f(x)\cdot g\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\int_{a}^{b}g(x) $$
mi intento:
en primer lugar si $f$ es continua en un intervalo cerrado de su integrable, lo que significa que $f \cdot g$ es integrable y por lo tanto $\int_{a}^{b}f(x)\cdot g\left(x\right)dx$ existe. ahora si $g$ es integrable que existe un punto de $x_0 \in [a,b]$$\delta>0$, de modo que $g$ es continua en el intervalo $(x_0 - \delta, x_0 +\delta)$. tanto en $g$ $f$ se continua en este intervalo, de modo que existe $F$ $G$ anti-derivada de funciones de $f$ $g$ que son derivados en $(x_0 - \delta, x_0 +\delta)$. ahora según Cauchy del valor medio el teorema de $$ \frac{f\left(\xi\right)}{g\left(\xi\right)}=\frac{F\left(x_{0}+\delta\right)-F\left(x_{0}-\delta\right)}{G\left(x_{0}+\delta\right)-G\left(x_{0}-\delta\right)}=\frac{\int\los límites de _{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f\left(x\right)dx}{\int\límites de _{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}g\left(x\right)dx} $$
y aquí hago una especie de estancó. Podría ser que esta dirección no es útil en absoluto, pero he intentado mi mejor aquí. Me gustaría tener alguna de las sugerencias que ahora.
