Probar usando inducción matemática: es divisible por $n \ge 1, 5^{2n} - 4^{2n}$ $9$

Question

Tengo que probar la siguiente declaración usando inducción matemática.

Para todos los números enteros, $n \ge 1, 5^{2n} - 4^{2n}$ es divisible por 9.

Tengo el caso base, que es el si $n = 1$ y cuando usted lo enchufa en la ecuación anterior se obtiene 9 y 9 es divisible por 9.

Ahora el paso inductivo es donde estoy atascado.

Tengo la hipótesis inductiva que es $ 5^{2k} - 4^{2k}$

Ahora bien, si P(k) es verdadero que P(k+1) debe ser verdadera. $ 5^{2(k+1)} - 4^{2(k+1)}$

Estos son los paso que he conseguido hasta ahora hasta que me quedo atascado:

$$ 5^{2k+2} - 4^{2k+2} $$ $$ = 5^{2k}\cdot 5^{2} - 4^{2k} \cdot 4{^2} $$ $$ = 5^{2k}\cdot 25 - 4^{2k} \cdot 16 $$

Ahora, después de esta no tengo idea de qué hacer. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Estás muy cerca. Ahora suma y resta $4^{2k}$ en el primer trimestre para obtener $ de $$ 5^{2k}\cdot 25-4^{2k}\cdot 16=25\cdot (5^{2k}-4^{2k})+(25-16)\cdot 4^{2k}=25\cdot (5^{2k}-4^{2k})+9\cdot 4^{2k} $

El primer término es divisible por $9$ por la hipótesis de inducción, por lo tanto la expresión entera es divisible por $9$.

Answer 2

La hipótesis de inducción puede ser escrita $$ 5 ^ {2k} -4 ^ {2 k} = 9 m $$ % entero $m$. Por lo tanto $5^{2k}=4^{2k}+9m$ y lo $$ 5 ^ 2\cdot5 ^ {2 k} -4 ^ 2\cdot4 ^ {2 k} = 25(9m+4^{2k})-16\cdot4 ^ {2 k} = 9\cdot 25 m + (25-16) \cdot 4 ^ {2 k} = 9\cdot 25 m-9\cdot 4 ^ {2 k} $$

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Por otra parte, $4\equiv -5\pmod{9}$, lo $$ 5 ^ {2 k} -4 ^ {2 k} \equiv 5 ^ {2 k}-(-5) ^ {2 k} \equiv 5 ^ {2 k} -5 ^ {2 k} \pmod {9} $$

Answer 3

$\begin{align}{\bf Hint}\qquad\qquad\qquad\qquad\,\ \color{#c00}{25} &=\,\ \color{#c00}{16 + 9}\ 25^{\large N} &=\,\ 16^{\large N}! +! 9j\ \Rightarrow\,\ 25^{\large N+1}! = \color{#c00}{25}\cdot 25^{\large N} &= (16^{\large N}!+!9j)(\color{#c00}{16+!9}) = 16^{\large N+1} +9\,(\cdots)\ \end {Alinee el} $

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O, dicho % mod $\,9!:\,\ \begin{align} 25&\equiv 16\ 25^{\large N}&\equiv 16^{\large N}\end{align}\ \Rightarrow\, 25^{\large N+1}\equiv 16^{\large N+1}\,$por la Regla del producto de congruencia

O, $ $ equivalente, $\ \big[25\equiv 16\big]^{\large N}!\Rightarrow\, 25^{\large N}!\equiv 16^{\large N}\, $ por la Regla de la potencia de congruencia, que es un inductivo la regla del producto.

Answer 4

La hipótesis inductiva es

$$(5^{2n}-4^{2n})\bmod9=0.$$

Entonces

$$(5^{2n+2}-4^{2n})\bmod9=(25\cdot5^{2n}-16\cdot4^{2n})\bmod9=(9\cdot5^{2n}+16(5^{2n}-4^{2n}))\bmod9=0.$$