Construcción de una biyección de un conjunto de clases de equivalencia a otro conjunto

Question

Supongamos que $f:A \to B$ es suryectiva. Definir una relación sobre $A$ estableciendo $x\sim y$ si $f(x) = f(y)$ . Es evidente que $\sim$ es una relación de equivalencia en $A$ . Sea $\mathcal{E}$ sea el conjunto de clases de equivalencia de $\sim$ . Demostrar que existe una biyección desde $\mathcal{E}$ a $B$ .

Intento:

Sabemos que $[e] = \{ x : f(e) = f(x) \}$ y $\mathcal{E} = \{ [e] : e \in A \}$ . Defina $\varphi: \mathcal{E} \to B$ por $\varphi( [e] ) = f(e)$ .

En primer lugar, observe que si $[e] = [e']$ entonces $\varphi( [e] ) = f(e) = f(e') = \varphi( [e']))$ así que $\varphi$ está bien definida.

A continuación, si $f(e) \neq f(e')$ entonces $(e,e') \notin\; \sim$ . Así que $[e] \neq [e']$ por lo que tenemos inyectividad

Por último, puesto que $f$ ya es suryectiva, sabemos que para cada $b \in B$ hay algo de $a \in A$ para que $f(a) = b$ . Así, para cada $b \in A$ hay algo de $e \in A$ (por lo que algunos $[e] \in \mathcal{E}$ ) tal que $\varphi( [e] ) = f(e) \in B$ . por lo que tenemos la subjetividad

¿Es este un argumento suficiente? gracias

Answer 1

Su prueba de inyectabilidad es al revés - que acaba de demostrar $\varphi$ vuelve a ser una función. En su lugar, debe asumir $[e]\neq[e']$ y deducir que $f(e)\neq f(e')$ . De lo contrario,