Demostrar por inducción que
$$ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n} $$
Que $n=r$, para que
$$ S_r = 2-\frac {r +2} {2 ^ r} $$
Por lo tanto
$$\begin{align} S_{r+1}=S_r+\frac{r+1}{2^{r+1}}&=2-\frac{r+2}{2^r}+\frac{r+1}{2^{r+1}}\ &=2-\frac{2^r(r+2)+r+1}{2^{r+1}}\ &=2-\frac{2^{n-1}(n+1)+n}{2^n} \end {Alinee el} $$
¿Cómo $2^{n-1}(n+1)\equiv2$? ¿O es mi método equivocado? ¡Probablemente he hecho un error estúpido!
El error parece estar en la segunda a la última línea. Claramente quería conseguir un denominador común de $2^{r+1}$, $2^r\cdot2^r=2^{2r}$, no $2^{r+1}$. Usted debe han multiplicado numerador y denominador por $2$, no $2^r$. También, tenga cuidado con sus muestras. Usted debe obtener $$S_{r+1}=2+\frac{-2(r+2)}{2^{r+1}}+\frac{r+1}{2^{r+1}}=2+\frac{-r-3}{2^{r+1}}=2-\frac{(r+1)+2}{2^{r+1}}$ $ también, recuerde que con la inducción usted necesita demostrar que el caso base ($n=1$) lleva a cabo.
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