L ' Hospital ' s la aplicación de la regla con exponentes levantados.

Question

Tengo un pequeño problemas sobre: <span class="math-container">%#% $ #%</span>

Utilizando <span class="math-container">$$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{14x}{14x+10}\right)^{10x}$</span> propiedades podemos traer abajo el exponente <span class="math-container">$\ln$</span> y tiene:<span class="math-container">%#% $ #%</span>

Y de aquí sale pegado tratando de aplicar la regla de L'Hospital para encontrar el límite.

Answer 1

Sugerencia:

<span class="math-container">$$10x \ln \left(\frac{14x}{14x+10}\right)= \frac{\ln \left(\frac{14x}{14x+10}\right)}{\frac{1}{10x}}$$</span>

Answer 2

SUGERENCIA

Podemos utilizar

<span class="math-container">$$\left(\frac{14x}{14x+10}\right)^{10x}=\left(\frac{14x+10-10}{14x+10}\right)^{10x}=\left[\left(1-\frac{10}{14x+10}\right)^{\frac{14x+10}{10}}\right]^{\frac{10\cdot 10x}{14x+10}}$$</span>

y se refieren a límites estándar.

Answer 3

Sugerencia: Usted quiere llegar a algún tipo de forma indeterminada, por lo que necesita para tener un lío con las fracciones para alcanzar la forma deseable.

$$\ln y=10x\ln\left(\frac{14x}{14x+10}\right)$$

$$\ln y=\frac{\ln\left(\frac{14x}{14x+10}\right)}{\frac{1}{10x}}$$

Ahora, usted puede seguir.

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Como un enfoque alternativo (más rápido y más fácil), puede utilizar $\lim_\limits{n \to \infty}\big(1+\frac{x}{n}\big)^n = e^x$. Estas expresiones son fáciles de manipular para llegar a un formulario.

Observe que el numerador es $10$ menor que el denominador, por lo $\frac{14x}{14x+14} = 1+\frac{-10}{14x+10}$. Por lo tanto, se obtiene

$$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{14x}{14x+10}\right)^{10x} = \lim_{x\to \infty} \Biggl[\left(1+\frac{-10}{14x+10}\right)^{14x+10}\Biggl]^{\frac{10x}{14x+10}}$$

Answer 4

Una vez que usted consigue el logaritmo, usted necesita $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\dfrac{14x}{14x+10}}{\dfrac{1}{10x}} $$ que está en el formulario de $0/0$ y l'Hôpital se puede aplicar. Sin embargo, es mucho más sencillo si el numerador se escribe como $\ln14+\ln x-\ln(14x+10)$, con el fin de calcular la derivada (usted sabe que el límite es $0$ , de todos modos). Así, obtenemos $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{14}{14x+10}}{-\dfrac{1}{10x^2}}= \lim_{x\to\infty}-10x^2\frac{14x+10-14x}{x(14x+10)}=\lim_{x\to\infty}-\frac{100}{14x+10} $$ Cuando usted tiene este límite, permítanme llamarlo $l$, el que se inició con la es $e^l$.

Answer 5

Consejos:

Con equivalentes, es muy rápido:<span class="math-container">%#% $ de #%</span> así, la equivalencia es compatible con la multiplicación/división, <span class="math-container">$$\ln\biggl(\frac{14x}{14x+10}\biggr)=\ln\biggl(1-\frac{10}{14x+10}\biggr)\sim\infty -\frac{10}{14x+10}\sim\infty -\frac{10}{14x}=-\frac 57,$ $</span> ADVERTENCIA: equivalencia es no compatible con adición/sustracción. Es compatible, bajo hipótesis suaves, con la composición a la izquierda en logaritmo.