$\mu$ es$\sigma-$ finito$\iff \exists$ function$f \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ con$f(x)>0$ para todos$x \in X$

Question

Deje $(X,\mathcal{A}, \mu)$ ser una medida en el espacio. Probar:

$\mu$ es $\sigma-$finito $\iff \exists$ función de $f \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ con $f(x)>0$ para todos los $x \in X$

Mis ideas

$"\Leftarrow"$

Deje $f \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ con $f(x)>0$, $\forall x \in X$. Así, $f$ es medible. Esto implica que para un $B_{n}$ define como $B_{n}:=\{f>\frac{1}{n}\}$ que es medible, por lo $\in \mathcal{A}$. Por definición, $\{f>0\}=\bigcup_{n\in \mathbb N}B_{n}\in \mathcal{A}$, pero desde $f > 0, \forall x \in X$ entonces $X\subseteq\bigcup_{n\in \mathbb N}B_{n}$ e $\mu(B_{n})<\infty, \forall n \in \mathbb N$, desde $\int_{X}fd\mu < \infty$$\Rightarrow \mu$ es $\sigma-$finito.

$"\Rightarrow"$ No tengo idea de cómo definir esta función, en particular como $f>0$, $\forall x \in X$

Answer 1

Deje que $(E_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sean medibles (desunidos) conjuntos con $\mu(E_n) < \infty$ y $\Omega = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$ . Ahora defina $$f(x) := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{1}{1 + \mu(E_n)} 1_{E_n}(x).$ $ Por definición, tenemos $f(x) >0$ para todos $x \in \Omega$ . Por otro lado, tenemos $$\int f(x) d \mu(x) \le \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{\mu(E_n)}{1+\mu(E_n)} \le 1. $ $