No convergencia de una serie de variables aleatorias.

Question

Pregunta:

Deje $(X_n), n\in\mathbb{N}$ ser una secuencia de independiente de r.v.s tal que $P(X_n=n^4)=\frac{1}{n^4}$ e $P(X_n=-1)=1-\frac{1}{n^4}$. El estudio de la un.s. la convergencia de $S_n=\sum_{i=1}^n X_n$ como $n\rightarrow +\infty$.

Mi Intento:

He estado simulando el proceso estocástico $S_n$ R a entender si la convergencia que era posible, pero en ninguna de las simulaciones que he realizado he obtenido un valor finito (todos los caminos van a -9999).

También, claramente, $\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(S_n)\rightarrow +\infty$ como $n\rightarrow +\infty$. Puedo llegar a la conclusión de que $S_n$ NO converge a.s.?

Muchas gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $P(X_n>1\quad \text{i.o})=0$ por Borel cantelli. Por lo tanto, $X_n=-1$ para todos pero finamente muchos $n$ con probabilidad $1$ . En particular, la serie diverge.