Una desigualdad de probabilidad: probabilidad de que la suma normalizada de variables aleatorias de i.i.d. limita por debajo, está delimitado por debajo

Question

Me han dicho que el siguiente hecho es cierto. Deje $X_1,X_2,X_3,\dots$ ser yo.yo.d. variables aleatorias. Entonces existe $\epsilon$ tal que para todos los $n$, $$\mathbb{P}\left(\frac{|X_1+\dots+X_n|}{\sqrt{n}}\geq \epsilon\right)\geq \delta.$$

Observar que $\epsilon$ no depende de $n$. Ambos $\epsilon$ e $\delta$ se $>0$.

Sin embargo, estoy luchando para demostrar esto, o encontrar ninguna referencia. El trampolín es que el $X_i$'s no tienen necesidad de finito media o varianza. De hecho, estoy interesado en la aplicación de este "hecho" a una situación donde la $X_i$'s debe haber infinita de la varianza (pero posiblemente cero refiero), así que las cosas elementales como el de Markov o la desigualdad de Chebyshev no ayuda. Estoy seguro sobre cómo proceder. Cualquier sugerencia sería muy apreciada!

Actualización sobre el progreso: Para la $X_i$ que me interesa, me han sacado la condición $$X_1+X_2+\dots+X_{2^k} \sim2^{k/4}X_i.$$ También me han demostrado la desigualdad $$\mathbb{P}(|S_n|>t) \geq \frac{1}{2}\mathbb{P}(\max_j|X_j|>t)\geq\frac{1}{2}(1-e^{-n(1-F(t)+F(-t))}),$$ donde $F$ es el c.d.f. de $X_i$. Por $S_n$, me refiero a la $S_n=X_1+\dots+X_n$. Por lo tanto parece que el problema se reduce al análisis de la distribución de $X_i$.

Answer 1

Permítanme dar una prueba directa, utilizando la característica de funciones. La configuración es la siguiente:

• $(X_n)$ e $(X'_n)$ son yo.yo.d.
• $\tilde{X}_n = X_n - X'_n$ son simétrico variables.
• $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ e $\tilde{S}_n = \tilde{X}_1 + \cdots + \tilde{X}_n$.

Bajo esta configuración, queremos demostrar que

La reclamación. Si la ley de $X_1$ es no degenerada, entonces existe $\epsilon > 0$ tales que $$ \inf_{n\geq 1} \mathbb{P}\left( |S_n| \geq \epsilon\sqrt{n} \right) > 0. $$

Podemos demostrar que la contraposición. Para ello, suponga que $\inf_n \mathbb{P}\left(|S_n|\geq \epsilon \sqrt{n}\right) = 0$ cualquier $\epsilon > 0$. Entonces existe $(n_k)$ tal que $S_{n_k}/\sqrt{n_k} \to 0$ en la probabilidad. Esto implica que $\tilde{S}_{n_k}/\sqrt{n_k} \to 0$ en la probabilidad como el bien. Por lo tanto, si $\varphi(t) = \mathbb{E}[\cos(t\tilde{X}_1)] $ denota la característica función de $\tilde{X}_1$, luego

$$ \varphi\left( \frac{t}{\sqrt{n_k}} \right)^{n_k} = \mathbb{E}[\exp\{\mathrm{i}t \tilde{S}_{n_k}/\sqrt{n_k}\}] \xrightarrow[k\to\infty]{} 1 $$

por el Portmanteau teorema. Tomando $\log|\cdot|$, tenemos $n_k \log\left| \varphi\left( \frac{t}{\sqrt{n_k}} \right) \right| \to 0$. Pero ya

• $ \varphi\left( \frac{t}{\sqrt{n_k}} \right) = 1 - 2 \mathbb{E}\left[ \sin^2\left( \frac{t\tilde{X}_1}{2\sqrt{n_k}}\right) \right] $ por el ángulo doble identidad;

• $\mathbb{E}\left[ \sin^2\left( \frac{t\tilde{X}_1}{2\sqrt{n_k}}\right) \right] \to 0$ por el teorema de convergencia dominada;

de ello se sigue que

$$ n_k \mathbb{E}\left[ \sin^2\left( \frac{t\tilde{X}_1}{2\sqrt{n_k}}\right) \right] \xrightarrow[k\to\infty]{} 0. $$

Conectar $t = 2$ y la aplicación de la monotonía teorema de convergencia y la contracción lema,

$$ \mathbb{E}[\tilde{X}_1^2] = \lim_{k\to\infty} \mathbb{E}\left[ n_k \sin^2\left( \frac{\tilde{X}_1}{\sqrt{n_k}}\right) \mathbf{1}_{\{ |\tilde{X}_1| \leq \frac{\pi}{2}\sqrt{n_k} \}} \right] = 0, $$

y, por tanto, $X_1$ es degenerado.

Answer 2

Creo que lo que queremos mostrar es que $S_n/\sqrt{n}$ no converge en probabilidad a 0.

Si $X_i$ han finito media y la varianza > 0, el resultado se sigue de la CLT. Por lo tanto, sólo tenemos que considerar el caso de la varianza infinita. En cierto sentido, esto debe ser aún más fácil de probar, ya que es más probable que la suma de $S_n=X_1+...+X_n$ es grande. De hecho, si $S_n/\sqrt{n}$ converge en probabilidad a 0, $X_i$ debe tener varianza finita. Este fue un ejercicio de Durrett la probabilidad de libro. La idea es symmetrize considerando las variables aleatorias $Y_i = X_i - X'_i$. Suponga que $X_i$ han infinito de la varianza. A continuación, podemos considerar versiones truncadas de $Y_i$ con arbitrariamente grande varianza finita. Entonces, esto nos permite obtener un atado como $\mathbb{P}(\sum Y_i \ge K \sqrt{n}) \ge 1/5$ arbitrarias $K$. (En esencia, si esa probabilidad es demasiado pequeño, usted no tiene ninguna posibilidad de obtener la necesaria ampliación de la varianza.) Pero la probabilidad que iba a ir a 0 $K > 0$. Por lo tanto, $X_i$ se puede asumir que tiene varianza finita y la CLT se aplica.