¿Solución sintética a este problema de geometría?

Question

Considere el siguiente diagrama. En el triángulo isósceles $\triangle ABC$ con $AB=AC$ se da que $BC=2$ . Dos puntos $M,N$ mentir $AB,AC$ respectivamente para que $AM=NC$ . Prueba: $MN$ es al menos $1$ . (Fuente: Olimpiada de Secundaria de 1990 celebrada en Xi'an, China) Ya he resuelto este problema haciendo un poco de geometría de coordenadas, estableciendo $AM=NC=t$ , encontrando $MN$ en función de $t$ y luego minimizar esa función. Pero esto es bastante tedioso, lo que me llevó a preguntarme cuál es la solución de la geometría sintética, que no he podido encontrar. (Por cierto, "sintético" significa sin el uso de la geometría de coordenadas, y espero que con el menor álgebra posible también).

Answer 1

Dejemos que $\overline{PQ}$ sea el segmento medio de $\triangle ABC$ en paralelo a $\overline{BC}$ y observe que $\overline{MP}\cong\overline{NQ}$ .

$$\frac12|BC| = |PQ| = |M^\prime N^\prime| \leq |MN|$$

Answer 2

Una solución muy sencilla: $MN$ es invariable bajo el intercambio de $AM$ y $AN$ (esto es la simetría de espejo de la derecha y la izquierda en su dibujo). Esto implica que para $AM$ = $AN$ = $AB$ /2 la longitud de $MN$ es extrema, es decir, tiene el mayor o el menor valor que puede tomar. En el caso simétrico $AM = AN$ tenemos por similitud $MN = \frac{1}{2} BC = 1$ que es el límite inferior del enunciado del problema. Por lo tanto, queda por demostrar que se trata efectivamente de un mínimo, pero la longitud no puede tener más de un valor extremo para $N\in AC$ y para $N=C$ tenemos $NM \ge 1$ de la desigualdad del triángulo.

Answer 3

Dejemos que $P$ y $Q$ sean los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Únase a $PQ$ . Supongamos que $PQ$ se encuentra con $MN$ en $R$ . Ampliar $PQ$ hacia el lado de $P$ (si $M$ está más cerca de $A$ como se dibuja en el diagrama) a $R'$ tal que $PR'=QR$ . Ahora $MP=QN$ y $\angle MPR'=\angle NQR$ . Por lo tanto, $\triangle MPR'\cong \triangle NQR$ . Por lo tanto, $MR+MR'\ge RR'$ por la desigualdad del triángulo, por lo que $MR+RN\geq PR+RQ$ . Por lo tanto, $MN\geq PQ=1$ .