Encontrar valores propios de la matriz.

Question

Encontrar los valores propios de la $(n+1) \times (n+1)$-matriz

$$ \left( \begin {array}{cccccccc} 0&0&0&0&0&0&-n&0\\ 0 &0&0&0&0&-(n-1)&0&1\\ 0&0&0&0&-(n-2)&0&2&0 \\ 0&0&0&\ldots&0&3&0&0\\ 0&0&-3&0&\ldots&0 &0&0\\ 0&-2&0&n-2&0&0&0&0\\ -1&0&n-1&0 &0&0&0&0\\ 0&n&0&0&0&0&0&0\end {array} \right) $$

He intentado por algunas pequeñas $n$ a mano y tiene que para $n=3$ los valores propios son $1,-1,3,-3$, $n=4$ autovalores son $0,2,-2,4,-4$. Así que estoy conjeturó que para arbitrario $n$ los valores propios son $n, n-2, n-4, \ldots, -n+2,-n.$

Cómo demostrarlo?

Answer 1

Llame a su matriz $B_{n+1}$. Indicar el Kac matriz del mismo tamaño por $$ A_{n+1}=\pmatrix{ 0&n\\ 1&0&n-1\\ &2&\ddots&\ddots\\ & &\ddots&\ddots&\ddots\\ & & &\ddots&0 &1\\ & & & & n &0}. $$ Se sabe que el espectro de la Kac matriz está dada por $$ \sigma(A_{n+1})=\{-n,\,-n+2,\,-n+4,\ldots,\,n-4,\,n-2,\,n\}. $$ Vamos a demostrar que $\sigma(A_{n+1})=\sigma(B_{n+1})$. Por consiguiente (como el Kac matriz tiene distintos valores propios) de las dos matrices son similares el uno al otro.

Aquí está la prueba. En primer lugar, $B_{n+1}^2$ es similar a $A_{n+1}^2$. De hecho, si $D$ indica el $(n+1)\times(n+1)$ matriz diagonal tal que $d_{kk}=(-1)^{\lfloor(k-1)/2\rfloor}$ (es decir, $D=\operatorname{diag}(1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,\ldots)$), un simple cálculo demuestra que $DB_{n+1}^2D=A_{n+1}^2$.

Por lo tanto $\sigma(B_{n+1}^2)=\sigma(A_{n+1}^2)$. Sin embargo, como se señaló en la respuesta de Jean Marie, $B_{n+1}$ es similar a $-B_{n+1}$ a través de la inversión de la matriz de la imagen en el espejo de la identidad de la matriz de izquierda a derecha). Por lo tanto, distinto de cero autovalores de a$B_{n+1}$ debe ocurrir en pares de la forma $\pm\lambda$. Por lo tanto, tenemos $\sigma(B_{n+1})=\sigma(A_{n+1})$, debido a la multiplicidad de cada uno distinto de cero autovalor de a$A_{n+1}^2$ es exactamente $2$.

Answer 2

Esto está muy lejos de una respuesta completa (pero demasiado largo para caber en un comentario).

Que nos llame a $M$ (o $M_n$ si queremos enfatizar la dependencia de $n$) de la matriz dada.

Establezcamos la siguiente propiedad : si $\lambda$ es un autovalor de a$M$, a continuación, $-\lambda$ es un autovalor de a$M$. Dicho de otra manera, el espectro de $M$ es simétrica con respecto a $O$.

Deje $J$ ser la antidiagonal de la matriz

($J_{ij}=1 \ \iff \ i+j=n+2$ e $J_{ij}=0$ lo contrario).

Por favor, tenga en cuenta que $J^{-1}=J$.

No es difícil establecer que

$$JMJ=-M. \tag{1}$$

Esta es una manera de expresar que de matrices como $M$ son "skew-centrosimétrico" (hay algo de literatura sobre el tema).

Deje $I$ ser $n+1$ dimensiones de la unidad matriz. Restando $\lambda I$ a LHS y RHS de (1), se puede escribir :

$$JMJ-\lambda JIJ=-M-\lambda I $$

Nos deja a la izquierda y a la derecha factorizar por $J$ :

$$J(M - \lambda I)J=-(M+\lambda I).$$

Tomando determinantes de ambos lados, obtenemos :

$$\det(J)^2\det(M - \lambda I)=(-1)^{n+1}\det(M+\lambda I).$$

Por lo tanto, como $\det(J)\neq 0$ (recordemos que $J^2=I$) :

$$\det(M - \lambda I)=0 \ \ \iff \ \ \det(M-(-\lambda) I)=0,$$

demostrar el resultado.