Informática

Question

¿Cómo puedo calcular la siguiente suma? $$2^{2^1}+2^{2^2}+2^{2^3}+\cdots+2^{2^n}$ $ Mi intento fue aplicar la fórmula conocida para la suma de una progresión geométrica, pero parece que la proporción es variable. Entonces, ¿hay una fórmula para este tipo de suma?

Answer 1

No se conoce la forma cerrada para esta serie.

De todos modos, como los términos crecer muy rápido, incluso para los moderados $n$,

$$\frac{t_{n-1}}{t_n}=2^{2^{n-1}-2^n}=2^{-2^{n-1}}$$ es una pequeña proporción y

$$2^{2^1}+2^{2^2}+2^{2^3}+\ldots+2^{2^n} \approx 2^{2^n}.$$

E. g., para $n=6$, la proporción es de $2.3\cdot10^{-10}$. De hecho, cuando manteniendo sólo el término final, el valor es exacto en la primera mitad de los dígitos.

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$$2,4,16,256,65536,4294967296,18446744073709551616,340282366920938463463374607431768211456,\cdots$$ en comparación con $$2,6,22,278,65814,4295033110,18446744078004584726,340282366920938463481821351509772796182,\cdots$$

Answer 2

Permítanme sugerir un documento que describe lo que constituye una respuesta a los problemas de este tipo (que se centra en los problemas de recuento, pero la idea general se puede generalizar): Herbert S. Wilf, Lo que es una Respuesta?, La American Mathematical Monthly, Vol. 89, Nº 5 (Mayo de 1982), pp 289-292. La idea general que se aplica a este problema en particular sería si hay una manera más eficiente para encontrar la suma que sólo la adición de término por término. Trabajo en binario se podría expresar la suma por una cadena de 0's y 1's en la que todos los dígitos son iguales a cero, excepto para un 1 en las posiciones de $2^1$, $2^2$, $2^4$, etc., pero eso ya requiere de un número de operaciones de al menos tan larga como el número de términos en la suma, así que parece que estamos de suerte.

Answer 3

Por favor, no lo tomes como una respuesta, es solo una observación. No estoy seguro de las consecuencias, pero he resuelto muchos problemas con este método.

Indique, $\displaystyle P_n=\sum_{k=1}^n2^{2^k}$ Tenga en cuenta que, $$\sum_{k=0}^{2^n}2^k=\frac{2^{2^n}-1}{2^n-1}$ $ $$P_n+Q_n=\frac{2^{2^n}-1}{2^n-1}$$ Where $ \ displaystyle Q_n = \ sum_ {k = 0} ^ {2 ^ n} 2 ^ k$ where $ k \ ne2 ^ p$ for any $ p> 1 $

No tengo idea de cómo ir para $Q_n$ .

Answer 4

Deje que $$\alpha_n = 2^{2^{n}},$ $ $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \alpha_n.$ $ Luego $$ \frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}} = \alpha_{n},$ $ $$ \alpha_{n+1} = \alpha_{n}^2.$ $ $$S_n^2 = (\sum_{k=1}^{n} \alpha_k)^2 =\sum_{k=1}^{n} \alpha_k^2 + 2 \sum_{i <j}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} =\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k+1}+2 \sum_{i <j}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j}.$ $ Arregle la suma $$S_n^2 = S_n +\alpha_{n+1}-\alpha_{1} +2 \sum_{i <j}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j},$ $ $$ S_n^2 -S_n +(\alpha_1-\alpha_{n+1}-2 \sum_{i <j}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j})=0, $ $ $$ S_n = \frac{1+ \sqrt{8 \sum_{i <j}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j}+4 \alpha_{n+1}+1-4\alpha_1}}{2}.$ $ El problema ahora es calcular $$\sum_{i <j}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j}.$ $