Ejemplos de las 4 variedades con % de clase de Stiefel-Whitney de tercera no trivial $w_3$.

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de $4$-colectores $M$ para que la clase $w_3(TM)\in H^3(M;\mathbb{Z}/2)$ es trivial? Hay una asignación de toro con esta propiedad?

Motivación: me pregunto si $4$-colectores se pueden "construir" una $3$-colector mediante la asignación toro de la construcción, a pesar del hecho de que $w_3$ se desvanece en $3$-colectores. En preguntarme esto, me di cuenta de mi que van a ejemplos de $4$-colectores -- $\mathbb{R} P^4$, $\mathbb{C} P^2$, e $K3$ -- todos tienen trivial $w_3$.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial, mostrando lo que uno debe de la demanda si se fuera a tratar de encontrar un ejemplo con $w_3(T_f) \neq 0$: Si $M$ es un orientable 4-colector, a continuación, $w_3(M) = 0$. Por lo $f$ tendría que ser una orientación de la inversión diffeomorphism o un diffeomorphism de un no-orientable colector.

Para probar esto, el uso de Wu a clases. Estas son las clases de $\nu_i \in H^i(M;\Bbb Z/2)$ para que los dos mapas de $H^{n-i}(X;\Bbb Z/2) \to \Bbb Z/2$ dado por $\nu_i \cdot x$ e $\text{Sq}^i x$ está de acuerdo. Wu del teorema es que tenemos la propiedad $$\sum_{i=0}^{\lfloor k/2\rfloor} \text{Sq}^{k-i} \nu_i = w_i.$$

Vemos a partir de la definición que $\nu_3 = 0$ porque $\text{Sq}^3$ se desvanece en las clases de grado menor que $3$, y vemos de orientability que $\nu_1 = 0$, y, por tanto, $\nu_2 = w_2$. Por lo tanto, tenemos $w_3 = \text{Sq}^1 w_2$. (De hecho, esto es cierto para un arbitrario 4-colector; uno necesita para argumentar que $(\text{Sq}^1)^2 w_1$, lo que en principio contribuye, siempre es cero). La operación $\text{Sq}^1$ a veces es mejor conocido como el Bockstein mapa. Este mapa de factores como la composición de la integral Bockstein $\beta_{\Bbb Z}: H^2(M;\Bbb Z/2) \to H^3(M;\Bbb Z)$ y la reducción de los coeficientes de módulo 2, por lo que es suficiente para mostrar que si $M$ es una orientada a cerrado 4-colector, tenemos $\beta_{\Bbb Z} w_2(M) = 0$.

Un muy elegante que la prueba de este hecho se da en la principal propuesta de esta breve nota. No voy a reproducir. El punto esencial es que la Bockstein largo de la secuencia exacta muestra que $\beta_{\Bbb Z} w_2(M) = 0$ si y sólo si $w_2(M)$ ascensores a un integrante de la clase, y que la nota se explica cómo mostrar que $w_2(M)$ ascensores a un integrante de la clase.

Answer 2

Aquí es una idea que se me ocurrió, pero yo sólo era capaz esencialmente reducir a esta pregunta. Yo tenía la esperanza de demostrar que la asignación de toro de una diffeomorphism de un orientable $3$-colector es igual a cero utilizando el hecho de que orientable $3$-colectores han trivial tangente paquetes y la definición de Stiefel-Whitney clases como la obstrucción de las clases. Al final, esto le dio un buen método para producir contraejemplos creo.

Deje $M$ denotar un orientable $3$-colector y $f$ y la orientación de la preservación de diffeomorphism. Voy a indicar la asignación de Toro por $T_f$ y la inclusión de fibra por $\iota\colon M\to T_f$. Fijar una banalización de la $T\iota(M)$, lo cual es posible por el mencionado hecho. Ahora sabemos que $\iota^*(w_i(S_f))=w_i(\iota^*TS_f)=w_i(TM\oplus \mathbb{R})=0$ llegamos a la conclusión de que $w_i(S_f)$ proviene de alguna clase en $H^i(S_f,\iota(M);\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$. Mediante la escisión de la inclusión de los par $(M\times I,M \times \partial I)\to (S_f,\iota(M))$ induce un isomorfismo en cohomology. Por lo tanto, tenemos que entender cómo la Stiefel-Whitney clases de $(M\times I,\partial M\times I)$ se comportan.

Desde $T(M\times I)\cong \pi^* TM\oplus \mathbb{R}$, donde $\pi$ denota la proyección de $M\times I\to M$ e esta división respeta la fija enmarcado en $M\times \partial I$, tenemos que entender $w_3(\pi^*TM,\pi^*TM|_{M\times \partial I})$. Tenga en cuenta que este es el mod $2$ reducción relativa de la clase de Euler. Además tenga en cuenta que si vamos a arreglar algunos no-desaparición de la sección $\phi$ de $\pi^*TM|_{M\times \{0\}}$ , a continuación, la sección en $\pi^*TM|_{M\times \{1\}}$ está dado por $f_* \phi((x,1))=Df_{f^{-1}(x)}(\phi(f^{-1}(x))$. En todo esto debe implicar que $w_3$ es el mod $2$ reducción de la obstrucción de la clase para un homotopy entre $\phi$ e $f_*(\phi)$.

Por lo tanto nos quedamos con la pregunta ¿cómo homotopy clases de no-desaparición de campos vectoriales en orientable $3$-variedades se comportan bajo diffeomorphisms de dicho colector, la cual es exactamente la citada pregunta. Sin embargo, tenga en cuenta que $[M,S^2]$, que es el conjunto de homotopy clases de campos vectoriales, surjects de forma muy natural a $H^2(M;\mathbb{Z})$. Así que tal vez es posible deducir la existencia de un campo de vectores $\phi$ y un diffeomorphism $f$ tal que la obstrucción de la clase para un homtopy entre $f_* \phi$ e $\phi$ es distinto de cero mod $2$ utilizando la acción de la $f$ a $H^2(M)$, pero estoy cansado, así que voy a pensar acerca de esta última parte de la mañana.