La solución a un problema matemático en el que estaba trabajando resultó ser la fórmula $$r + \sqrt{w(2r-w)}$$
Mi nueva pregunta se convirtió en, ¿cuáles son todas las posibles soluciones para $r$ y $w$ donde $r$ y $w$ son números enteros $> 0$ tal que la expresión da un número entero?
Intenté demostrar que hay infinitas soluciones para $r$ cuando $w=2$ . $$2(2r-2) = (2n)^2$$ $$2r - 2 = 2n^2$$ $$r-1=n^2$$ $$r=n^2 + 1$$ para cuando $n > 1$ para que $r > 0$ .
Por ejemplo, cuando $w=2, n = 6$
$$r = 6^2 + 1 = 37$$ enchufe $w$ y $r$ en la expresión da como resultado un número entero. $$37 + \sqrt{2(2 \cdot 37 - 2)} = 49$$
Empecé a darme cuenta de que parece haber una cantidad infinita de enteros $r$ para cualquier $w$ . Escribí un programa que encuentra $r$ para cualquier $w$ y los compiló en una tabla. Descubrí que el conjunto para $r$ puede ser generada por la función $an^2+bn+c$ donde $n$ es un número entero $>0$
$$\begin{array}{c|c|c|} \text{w} & \text{r} & \text{a} & \text{b} & \text{c}\\ \hline \text{1} & \{5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, ...\} & 2 & 2 & 1 \\ \hline \text{2} & \{5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, ...\} & 1 & 2 & 2 \\ \hline \text{3} & \{15, 39, 75, 123, 183, 255, 339, 435, ...\} & 6 & 6 & 3 \\ \hline \text{4} & \{10, 20, 34, 52, 74, 100, 130, 164, ...\} & 2 & 4 & 4 \\ \hline \text{5} & \{25, 65, 125, 205, 305, 425, 565, 725, ...\} & 10 & 10 & 5 \\ \hline \text{6} & \{15, 30, 51, 78, 111, 150, 195, 246, ...\} & 3 & 6 & 6 \\ \hline \text{7} & \{35, 91, 175, 287, 427, 595, 791, 1015, ...\} & 14 & 14 & 7 \\ \hline \text{8} & \{13, 20, 29, 40, 53, 68, 85, 104, ...\} & 1 & 4 & 8 \\ \hline \text{9} & \{17, 29, 45, 65, 89, 117, 149, 185, ...\} & 2 & 6 & 9 \\ \hline \text{10} & \{25, 50, 85, 130, 185, 250, 325, 410, ...\} & 5 & 10 & 10 \\ \hline \end{array}$$
Noté un patrón en las funciones generadoras de polinomios, e intenté describirlo en una función a trozos. Debido a mis conocimientos de programación, me resulta difícil expresarlo en términos matemáticos. Considere $q(w)$ una función que devuelve una función en términos de n donde $n > 0$ que generará todos los posibles enteros $r$ para un determinado $w$ . El orden de las piezas debe seguirse de arriba a abajo, por lo que si se pasa 2 como $w$ , el piecero utilizará el caso de la potencia impar de 2 antes que el caso par.
$$ q(w) = \begin{cases} 2n^2 + 2n\sqrt{w} + w, & \text{if $w$ is square} \\ n^2 + n \cdot 2^{(log_2(w) + 1)/2} + w, & \text{if $w$ is odd power of 2 (ex. $2^{3}$)} \\ w \cdot q(1), & \text{if $w$ is odd} \\ w / 2 \cdot q(2), & \text{if $w$ is even} \\ \end{cases} $$
Por ejemplo, $q(25)$ genera $$2n^2 + 2n \sqrt{25} + 25$$ lo que dará lugar a todos los $r$ para $w=25$ dado cualquier número entero $n$ donde $n > 0$
Por ejemplo, elegir $n=12$ (un número entero arbitrario $> 0$ ) produce $$2(12)^2 + 2(12)\cdot 5 + 25 = 433$$
Si conectamos $w=25$ y $r=433$ en nuestra expresión original, se evalúa como un entero: $578$ .
Por lo que veo, esta función a trozos cubre todas las posibles soluciones para $r$ y $w$ según lo comprobado por un programa informático. Por supuesto, no he demostrado nada aquí, y me gustaría saber cómo demostrar algo así, y sobre todo me gustaría saber si hay una mejor manera de ir a resolver esto y si había una respuesta simple que me perdí. Gracias por todas las respuestas.
