Demostrando una desigualdad de tres variables.

Question

Dado que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ :$$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 64$$ Mi intento: Primero probé la expansión de la LHS conseguir que$$abc+ab+bc+ca+a+b+c \ge 63$$ He aplicado de Cauchy-Schwarz en $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ conseguir ese $a+b+c\ge9$.

Entonces yo también trató de manipular la primera condición y consiguió $abc=ab+bc+ca$, luego he aplicado AM-GM en $a+b+c$ obteniendo el siguiente$$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$$ Finalmente he sustituido $ab+bc+ca=abc$ en mi expresión inicial, consiguiendo:$$2abc+(a+b+c)\ge63$$The last thing I tought about was that I have both $a+b+c\ge9$ and $a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$ so if I somehow related them I would have $\sqrt[3]{abc} \ge 3 \rightarrow abc\ge27$ y con estas condiciones, el problema podría seguir sumando, pero el sentido de la desigualdad no es que me como la intención de...

Estoy atascado aquí, he tratado de muchas otras cosas, pero nada realmente trabajado, también parcial, se agradece la ayuda!

Answer 1

Creo que te refieres a <span class="math-container">$$a,b,c>0$ $</span> en este caso tenemos <span class="math-container">$$\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$ so <span class="math-container">$$a+b+c\geq 9$$</span> and we get also <span class="math-container">$$\frac{bc+ac+ab}{3}\geq \sqrt[3]{(abc)^2}$$</span> so <span class="math-container">$$abc\geq 27$$</span> and <span class="math-container">$% $ $ab+ac+bc\geq 27$</span> Armando cosas tenemos <span class="math-container">$$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\geq 27+27+10=64$ $</span></span>

Answer 2

Por el super-aditividad de la media geométrica / convexidad de <span class="math-container">$\log(e^x+1)$</span> <span class="math-container">$$ (1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\sqrt[3]{abc})^3 $ $</span> y por la desigualdad de GM-HM <span class="math-container">$$ \sqrt[3]{abc} \geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=3.$ $</span>

Answer 3

Desde ahora de <span class="math-container">$ab+bc+ca= abc$</span> y <span class="math-container">$$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\implies abc\geq 27$ $</span> <span class="math-container">$$(a+1)(b+1)(c+1)=2abc+a+b+c+1\geq 55+3\sqrt[3]{27} = 64$ $</span>

Answer 4

Para las variables positivo tenemos que demostrar que <span class="math-container">$$\ln\left((1+a)(1+b)(1+c)\right)\geq\ln64$ $</span> o <span class="math-container">$$\sum{cyc}(\ln(1+a)-2\ln2)\geq0$ $</span> o <span class="math-container">$$\sum{cyc}\left(\ln(1+a)-2\ln2+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{3}\right)\right)\geq0,$ $</span> lo cual es cierto porque <span class="math-container">$$f(a)=\ln(1+a)-2\ln2+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{3}\right)\geq0$$ for all <span class="math-container">$a # > 0$</span>.</span>

De hecho, <span class="math-container">$$f'(a)=\frac{(a-3)(4a+3)}{4a^2(a+1)},$$</span> which gives <span class="math-container">$ a_ {min} = 3 $</span> and since <span class="math-container">$f (3) = 0$</span>, ya terminamos!