Por que $ \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $

Question

$ \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $

He visto y entender (matemáticamente) la prueba de ello. Lo que quiero entender es: intuitivamente, ¿por qué? Lo que hace esta fórmula nos dicen? A partir de la fórmula, vemos que si le restamos el cuadrado del valor esperado de x en el valor esperado de $ x^2 $, obtenemos una medida de la dispersión de los datos (o en el caso de la desviación estándar, la raíz de este valor nos da una medida de la dispersión en los datos).

Así que parece que hay alguna relación entre el valor esperado de $ x^2 $ e $ x $. ¿Cómo puedo hacer que el sentido de esta fórmula? Por ejemplo, la fórmula

$$ \sigma^2 = \frac 1n \sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2 $$

tiene perfecto sentido intuitivo. Simplemente nos da el promedio de los cuadrados de las desviaciones de la media. Lo que hace la otra fórmula nos dicen?

Answer 1

Hace algunos momentos, un profesor me mostró este derecho triángulo:

La fórmula se informó puede ser visto como la aplicación de la Phytagora del teorema:

$$P = \mathbb{E}[X^2] = \text{Var}[X] + \mathbb{E}^2[X].$$

Aquí, $P = \mathbb{E}^2[X]$ (que es la segunda descentrada momento de la $X$) se lee como "el poder" de $X$. De hecho, hay una explicación física.

En física, la energía y la potencia están relacionados con el "cuadrado" de una cierta cantidad (es decir, $X$ puede ser la velocidad para la energía cinética, la corriente por la ley de Joule, etc.).

Supongamos que estas cantidades son al azar (de hecho, $X$ es una variable aleatoria). Entonces, el poder $P$ es la suma de dos contribución:

1. La plaza de el valor esperado de $X$;
2. Su varianza (es decir, cuánto varía desde el valor esperado).

Está claro que, si $X$ no es al azar, a continuación, $\text{Var}[X] = 0$ e $\mathbb{E}^2[X] = X^2$, por lo que:

$$P = X^2,$$

la cual es una típica definición física de la energía. Cuando el azar está presente, se debe utilizar la fórmula completa

$$P = \mathbb{E}[X^2] = \text{Var}[X] + \mathbb{E}^2[X]$$

para evaluar la potencia de la señal.

Como observación final, el poder de la $X$ puede ser visto como la longitud del vector que los componentes se corresponde con el cuadrado de su valor esperado y su variabilidad.

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P. S. Una aclaración... los valores de $P$, $\text{Var}[X]$ e $\mathbb{E}^2[X]$ representan los cuadrados de los lados del triángulo, no su longitud...

Answer 2

¡Fácil! Expandir por la definición. La variación es la desviación media al cuadrado, es decir, $V(X) = E((X-\mu)^2).$ ahora:

PS

y use el hecho de que $$ (X-\mu)^2 = X^2 - 2X \mu + \mu^2$ es una función lineal y que $E(\cdot)$ (la media) es una constante.

El método abreviado calcula lo mismo, pero cuenta la diferencia en la media de los cuadrados y el cuadrado de la media.

Answer 3

La otra fórmula que le dice exactamente lo mismo como el que usted ha dado con $x,x^2$ $\&$ $n$. Usted dice que usted entienda esta fórmula, por lo que supongo que usted también consigue que la varianza es simplemente el promedio de todas las desviaciones al cuadrado.

Ahora, $\mathbb{E}(X)$ es sólo el promedio de todas las $x'_is$, es decir, que es la media de todos los $x'_is$.

Vamos ahora a definir una desviación utilizando la expectativa de operador. $$Deviation = D = (X-\mathbb{E}(X))$$ Y Desviación al cuadrado es, $$D^2 = (X-\mathbb{E}(X))^2$$

Ahora que tenemos la desviación vamos a encontrar la varianza. El uso de la mencionada definición de la varianza, usted debería ser capaz de ver que

$$Variance = \mathbb{E}(D^2)$$ Desde $\mathbb{E}(X)$ es el valor promedio de $X$,La ecuación anterior es sólo el promedio de las desviaciones al cuadrado.

Poner el valor de $D^2$, obtenemos, $$Var(X) = \mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))^2 = \mathbb{E}(X^2+\mathbb{E}(X)^2-2X*\mathbb{E}(X)) = \mathbb{E}(X^2)+\mathbb{E}(X)^2-2\mathbb{E}(X)^2 = \mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$$ Espero que esto ayude.

Answer 4

Una manera intuitiva de medir la variación de $X$ sería para mirar a lo lejos, en promedio, $X$ es de es decir, $E(X)=\mu$. Es decir, queremos calcular $E(X-\mu)$. Sin embargo, matemáticamente, es "inconveniente" para el uso de $E(X-\mu)$, por lo que utilizar la más conveniente $E((X-\mu)^{2}))$.

Para agregar, la fórmula que dio anteriormente, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})$ es lo que se puede utilizar cuando se han finito de puntos de datos. No hay nada al azar una vez que se tienen los puntos de datos. $Var(X)$ es para una variable aleatoria, que puede tomar finito de valores, infinito contable de los valores o de los valores en un intervalo.