¿Dónde se necesita incluso la desigualdad de Bernoulli?

Question

¿Qué Teoremas/Lemas/Resultados realmente utilizan la desigualdad de Bernoulli? No parezco recordar usarla muy a menudo, lo cual probablemente tiene sentido, ya que no es una desigualdad muy fuerte y se puede demostrar fácilmente.

Sin embargo, ¿dónde realmente se utiliza Bernoulli?

Answer 1

La Desigualdad de Bernoulli puede demostrar la Desigualdad AM-GM. A partir de este hecho, se podría derivar la Desigualdad de Young, la Desigualdad de Holder, la Desigualdad de Minkowski y, a su vez, cualquier otra que se derive de esas.

Sea $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sean $n$ números reales positivos. Definamos $$A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}$$ para todo $1\leq k\leq n$. La Desigualdad de Bernoulli en la forma $x^k\geq 1+k(x-1)$ entonces implica $$\left(\frac{A_k}{A_{k-1}}\right)^k\geq 1+k\left(\frac{A_k}{A_{k-1}}-1\right)$$ lo que después de algunas acrobacias algebraicas resulta en $$A_k^k\geq a_kA_{k-1}^{k-1}\,.$$ Esto a su vez implica $$A_n^n\geq a_nA_{n-1}^{n-1}\geq a_na_{n-1}A_{n-2}^{n-2}\geq \cdots\geq a_n\cdots a_2a_1$$ lo que da $$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\,.$$ De manera intuitiva, lo que está sucediendo aquí es que podemos ordenar los valores $A_1, A_2, \ldots, A_n$ para que los cocientes subsiguientes $A_k/A_{k-1}$ estén cerca de $1$, que es donde Bernoulli es preciso.

Answer 2

Cuando se trata de asintóticas de probabilidades, la expresión $(1-p)^n$ aparece todo el tiempo. La manera más conveniente de manejarla es con las desigualdades $$1 - pn \le (1-p)^n \le e^{-pn}$$ donde el límite inferior es la desigualidad de Bernoulli. (Aquí estoy asumiendo que $p \in [0,1]$ y $n$ es un número natural.) De hecho, como se menciona en la respuesta de p4sch, el límite superior también es una consecuencia de la desigualdad de Bernoulli, a través de la desigualdad $1 + x \le e^{x}$.

Por ejemplo, el resultado de que las propiedades monótonas del modelo Erdős–Rényi de grafos aleatorias tienen umbrales se basa en el hecho de que si tomas la unión de $k$ copias de $\mathcal G_{n,p}$, el grafo que obtienes (que tiene la distribución $\mathcal G_{n,1-(1-p)^k}$) se puede considerar como un subgrafo de $\mathcal G_{n,kp}$. Esto implica que a medida que la probabilidad de la arista $p$ escala linealmente, la probabilidad de que tu grafo carezca de una propiedad monótona decae exponencialmente: $$\Pr[\mathcal G_{n,kp} \text{ carece de la propiedad $M$}] \le \Pr[\mathcal G_{n,p} \text{ carece de la propiedad $M$}]^k.$$ Para más detalles, consulta el Teorema 1.7 en este libro de texto.

Muchas desigualdades pueden probarse entre sí y es difícil decir que alguna vez "necesitas" un resultado en particular. Sin embargo, este es un ejemplo donde la desigualdad de Bernoulli es la herramienta más conveniente de usar.

Answer 3

Se puede usar la desigualdad de Bernoulli para demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} =1$, donde $a>0$. Aquí definimos la raíz cuadrada $n$-ésima de manera elemental diciendo que es la solución de $x^n =a$. La existencia se puede mostrar mediante el método babilónico o simplemente usando afirmaciones sobre la existencia de funciones inversas diferenciables.

Sea $x_n +1 = \sqrt[n]{a}$ para (s.p.g.) $a \ge 1$. Entonces $(x_n+1)^n = a \ge 1+nx_n$ y por lo tanto $$\frac{a}{n-1} \ge x_n \ge 0.$$ Esto demuestra que $x_n \rightarrow 0$. Si $a< 1$, entonces podemos aplicar el paso anterior con $b= 1/a$ y usar que $\sqrt{1/a} = 1/\sqrt{a}$.

Otra aplicación: Si definimos la función exponencial como $$\exp(x) := \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,$$ entonces la desigualdad de Bernoulli muestra que $$\exp(x) \ge 1+x.$$

Answer 4

Lo uso para demostrar que$$\bigl(\forall a\in(0,\infty)\bigr):\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1.\tag1$$Es claro que $(\forall n\in\mathbb{N}):\sqrt[n]a>1$. Primero, asumamos que $a\geqslant1$. Así, puedes escribir $\sqrt[n]a$ como $1+\varepsilon_n(a)$, con $\varepsilon_n(a)>0$ y $(1)$ es equivalente a$$\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n(a)=0.\tag2$$Pero ahora puedo aplicar la desigualdad de Bernoulli:\begin{align}a&=\left(\sqrt[n]a\right)^n\\&=\left(1+\varepsilon_n(a)\right)^n\\&\geqslant1+n\varepsilon_n(a)\\&>n\varepsilon_n(a)\end{align}y por lo tanto $\varepsilon_n(a)<\frac an$. Entonces, se sigue del teorema del sándwich que se cumple $(2)$.

Ahora, si $0, entonces$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=\frac1{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}}=\frac11=1.$$

Answer 5

Podemos usar la desigualdad de Bernoulli para probar que la secuencia $$ a_n=\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n $$ converge cuando $n\to\infty$. Denotamos $b_n=a_n(1+n^{-1})$. Demostramos que $b_n$ es una secuencia decreciente. Tenemos que \begin{align*} \frac{b_n}{b_{n-1}} &=\frac{(1+\frac1n)^{n+1}}{(1+\frac1{n-1})^n} =\frac{(n^2-1)^n(n+1)}{n^{2n}n}\\ &=\frac{1+\frac1n}{(1+\frac1{n^2-1})^n} \le\frac{1+\frac1n}{1+\frac n{n^2-1}}\\ &<\frac{1+\frac1n}{1+\frac n{n^2}} =1. \end{align*} Por lo tanto, $b_{n-1}>b_n$. Dado que $b_n\ge1$, $b_n$ converge cuando $n\to\infty$, lo que a su vez implica que $a_n$ converge cuando $n\to\infty$ también.