Demostrar que .

Question

Deje $a,b,c$ ser números reales positivos. Demostrar que $$\Big({a\over a+b}\Big)^3+\Big({b\over b+c}\Big)^3+ \Big({c\over c+a}\Big)^3\geq {3\over 8}$$

Si ponemos $x=b/a$, $y= c/b$ e $z=a/c$ obtenemos $xyz=1$ y

$$\Big({1\over 1+x}\Big)^3+\Big({1\over 1+y}\Big)^3+ \Big({1\over 1+z}\Big)^3\geq {3\over 8}$$

Desde $f(x)=\Big({1\over 1+x}\Big)^3$ es convexa que tenemos, por Jensen,: $$\Big({1\over 1+x}\Big)^3+\Big({1\over 1+y}\Big)^3+ \Big({1\over 1+z}\Big)^3\geq 3f({x+y+z\over 3})$$

Desafortunadamente, debido a que $f$ es la disminución no tenemos $f({x+y+z\over 3}) \geq f(1) = {1\over 8}$.

Alguna idea de cómo solucionar esto?

Answer 1

Esto es más de un comentario, pero no tengo la reputación. El uso de multiplicadores de Lagrange. De problemas, usted encuentra que los puntos críticos se producen cuando $xyz=1$ e $yz (1+x)^4 = xz (1+y)^4 = xy (1+z)^4$. Creo que la única solución es $x=y=z=1$. Claramente, es un mínimo y tapar muestra que el obligado.

Añadió:

Podemos reescribir la condición como $xyz=1$ e $\frac{(1+x)^4}{x} = \frac{(1+y)^4}{y} = \frac{(1+z)^4}{z}$

La función de $g(x)=\frac{(1+x)^4}{x}$ es la disminución de $0$ a $1/3$ y el aumento de $1/3$ a $\infty$. Esto muestra que 2 de $x,y,z$ debe ser igual (WLOG $x$ e $y$) y $z=1/x^2$. Queda por resolver $\frac{(1+x)^4}{x} = \frac{(1+1/x^2)^4}{1/x^2}$. Esta vez, no es difícil comprobar $x=1$ es la única solución y hemos terminado.

Answer 2

Deje $g(t):=\left(\dfrac{1}{1+\exp(t)}\right)^3$ para $t\in\mathbb{R}$. A continuación, $$g''(t)=\frac{3\,\exp(t)\,\big(3\,\exp(t)-1\big)}{\big(1+\exp(t)\big)^5}\text{ for each }t\in\mathbb{R}\,.$$ Por lo tanto, $g$ es convexa en a$\big[-\ln(3),\infty\big)$.

Deje $x:=\dfrac{b}{a}$, $y:=\dfrac{c}{b}$, e $z:=\dfrac{a}{c}$ ser como el OP define. Entonces, la desigualdad es equivalente a $$g\big(\ln(x)\big)+g\big(\ln(y)\big)+g\big(\ln(z)\big)\geq \dfrac{3}{8}\,.\tag{*}$$ Si $x$, $y$o $z$ es de menos de $\dfrac{1}{3}$, entonces es claro que el lado izquierdo de (*) es mayor que $$\left(\dfrac{1}{1+\frac13}\right)^3=\frac{27}{64}>\frac38\,.$$ Si todos los $x$, $y$, e $z$ son mayores o iguales a $\dfrac13$, a continuación, $\ln(x),\ln(y),\ln(z)\geq -\ln(3)$, por lo que podemos utilizar la convexidad de $g$ a $\big[-\ln(3),\infty\big)$. Por la Desigualdad de Jensen, $$g\big(\ln(x)\big)+g\big(\ln(y)\big)+g\big(\ln(z)\big)\geq3\,g\left(\frac{\ln(x)+\ln(y)+\ln(z)}{3}\right)=3\,g(0)=\frac{3}{8}\,.$$ Por lo tanto, la igualdad ocurre si, y sólo si $x=y=z=1$, lo $a=b=c$.

Answer 3

Por El Titular De La $$\left(\sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)^3}\right)^2\sum_{cyc}1\geq\left(\sum_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{a^3}{(a+b)^3}\right)^2\cdot1}\right)^3=\left(\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2}\right)^3.$$ Por lo tanto, es suficiente para probar que $$\frac{\left(\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2}\right)^3}{3}\geq\frac{9}{64}$$o $$\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2}\geq\frac{3}{4}.$$ Ahora, a través de la C-S $$\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2}=\sum\limits_{cyc}\frac{a^2(a+c)^2}{(a+b)^2(a+c)^2}\geq\frac{\left(\sum\limits_{cyc}(a^2+ab)\right)^2}{\sum\limits_{cyc}(a+b)^2(a+c)^2}.$$ Por lo tanto, es suficiente para probar que $$4\left(\sum\limits_{cyc}(a^2+ab)\right)^2\geq3\sum\limits_{cyc}(a+b)^2(a+c)^2,$$ lo cual es cierto incluso para todos los reales $a$, $b$ e $c$.

De hecho, la última desigualdad es simétrica de la desigualdad por el grado cuatro,

el que dice que por $uvw$ (https://math.stackexchange.com/tags/uvw/info )

es suficiente para probar la última desigualdad para la igualdad caso de dos variables, y desde

es la homogeneidad de la desigualdad, incluso por grado, podemos suponer $b=c=1$, lo que da $$(a-1)^2(a+3)^2\geq0.$$ Hecho!