En el caso de que queremos fijar un punto de base en $\Sigma$:
Considere la posibilidad de un 'toro' $\Sigma=T^2$ en $E^3$, y deje $U$ es el cierre de la región acotada de $E^3-\Sigma$.
Una opción es que los $U$ es un sólido toro, en cuyo caso la inducida por el mapa de $\pi_1(\Sigma)\to \pi_1(U)$ es surjective.
La otra opción es que $U$ es un nudo trivial complemento. Por ejemplo, el siguiente es un nudo de trébol de complemento:
![trefoil knot complement]()
Pero $\pi_1(\Sigma)\to\pi_1(U)$ no puede ser surjective porque $\pi_1(U)$ es nonabelian (de hecho es una de las tres vertientes de la trenza de grupo) $\pi_1(\Sigma)\cong\mathbb{Z}^2$.
En caso de que no queremos fijar un punto de base en $\Sigma$:
Deje $U$ ser $B^3$ menos de una fracción de desvincular. Este es un compacto de submanifold de $\mathbb{R}^3$ con tres componentes del borde: una esfera y dos de tori. Un bucle que es el compuesto de los meridianos de los dos componentes del enlace no es homotópica a un bucle en el límite. Esto es cierto incluso homologically.
El siguiente trabajo tiene algo que decir sobre compacta orientada a los colectores donde cada bucle es de libre homotópica a un bucle en el límite:
Brin, Mateo; Johannson, Klaus; Scott, Peter, Totalmente periférica 3-variedades, Pac. J. Math. 118, 37-51 (1985). ZBL0525.57010.
Si cada bucle en $U$ es de libre homotópica a una en $\Sigma$ (es decir, si $U$ está "totalmente periférica"), entonces su resultado implica que hay algún componente $F$ de $\Sigma$ tal que $\pi_1(F)\to\pi_1(U)$ es surjective.
Aplicando esto al caso de un pacto componente de un toro complemento en $E^3$, esto sólo sucede si $U$ es un sólido toro (el complemento de un nudo trivial), ya que el grupo fundamental de un nudo trivial complemento es nonabelian.
En general, una compacta orientable irreductible 3-colector $U$ es una compresión del cuerpo si hay un límite de componente $F\subset \Sigma$ con $\pi_1(F)\to\pi_1(U)$ surjective. Marden del Exterior de los Círculos ejemplo 3-11 (p. 168) explica cómo funciona esto. Una definición rápida: una compresión de cuerpo es el límite de conectar suma de un identificador cuerpo con algún número de la superficie de la cruz-intervalos. Todos estos pueden ser incrustados en $E^3$. Este debe manejar la clasificación completa de compacto $U$ desde (1) en $E^3$ significa que no hay $S^1\times S^2$ conectar sumandos y (2) $U$ tiene que ser la mejor para este surjectivity condición para sostener debido a van Kampen del teorema.
Se me ocurrió la siguiente antes de cavé la referencia anterior. Considerar el trébol complemento de nuevo. Los bucles que se homotópica a límite de ciclos son llamados elementos periféricos, y están conjugado a un elemento en la imagen de $\pi_1(\Sigma)\to\pi_1(U)$, o, equivalentemente, si son en algún periférico subgrupo. En el siguiente veremos que $\pi_1(U)$ no cuenta con los elementos periféricos. (A pesar de $\pi_1(U)$ es generado por ellos.)
Considere la posibilidad de la presentación de $G=\pi_1(U)=\langle x,y\mid x^2=y^3\rangle$ (como se ve en Hatcher), donde $\mu=y^{-1}x$ es un meridiano y $\lambda=xy$ correspondiente longitud (con $\mu^{-5}xy$ ser un cero con marco de longitud), que en conjunto generan un periférico subgrupo. Hay un homomorphism $f:G\to \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])$ dada por
\begin{align}
x&\mapsto\begin{bmatrix}0&t\\-t^2&0\end{bmatrix}\\
y&\mapsto\begin{bmatrix}0&t\\-t&t\end{bmatrix}
\end{align}
llama la Burau representación, al menos después de la eliminación de la trivial subrepresentation --- esta particular presentación viene de https://arxiv.org/abs/math-ph/0103008 a través de Juan Báez. (Dato interesante 1: esta es la representación fiel. Interesante dato 2: si $a:G\to\mathbb{Z}$ es el abelianization con $a(\mu)=1$, a continuación, $\det(f(g))=t^{a(g)}$.)
Desde $\mu$ e $\lambda$ generar un abelian, el subgrupo subgrupo de la imagen bajo $f$ simultáneamente es diagonalizable sobre $\mathbb{Q}(t)$. Con
$$P=\begin{bmatrix}\frac{1}{1-t}&1\\1&0\end{bmatrix},$$
entonces
\begin{align}
f(\mu)&=P\begin{bmatrix}1&0\\0&t\end{bmatrix}P^{-1}\\
f(\lambda)&=P\begin{bmatrix}-t^3&0\\0&-t^2\end{bmatrix}P^{-1}.
\end{align}
Todos los periféricos subgrupo tiene una imagen generada por algunos conjugada de estos generadores. En particular, las imágenes de los elementos periféricos son conjugada de una matriz de la forma
$$(-1)^m\begin{bmatrix}t^{3m}&0\\0&t^{m+n}\end{bmatrix}$$
para algunos $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$. Pero, $f(x)$ no diagonalize más de $\mathbb{Q}(t)$ desde su polinomio característico es $a^2+t^3$. Por lo tanto, $x$ no es un elemento periférico. Del mismo modo, tampoco es $y$.
(Creo que puede ser una forma geométrica para ver esta pensando acerca de la universalización de la cobertura de $U$ como $\mathbb{H}^2\times \mathbb{R}$ con la cubierta de transformaciones ser isometrías. Periférica subgrupos son celosías dentro plana (productos de hiperbólico líneas y $\mathbb{R}$), y la conjugación transforma al plano y a la celosía. Creo que algunos de los elementos son "demasiado cerca" de la identidad en cualquier celosía, y yo estaría muy agradecido si alguien pudiera explicar los detalles de este a mí.)
