La simulación del módulo de aterrizaje Philae se desvía por un factor de ~3

Question

Estoy intentando simular el aterrizaje de Philae escribiendo un programa que calcule la posición del módulo de aterrizaje en función del tiempo. Según varios sitios web de la misión, el orbitador hará coincidir su órbita con la rotación del cometa, y luego se moverá hacia el cometa para impartir una velocidad inicial al módulo de aterrizaje al liberarlo. El módulo de aterrizaje "caerá libremente" hacia el cometa y aterrizará aproximadamente 7 horas después a una velocidad no superior a 1,0 m/s.

Mi simulación supondrá una trayectoria en línea recta desde el orbitador hasta el cometa.

He reunido algunas cifras de los sitios web de las misiones:

Masa del cometa (M _C ): 1.0 x 10 13 kg (Wikipedia)
Masa del módulo de aterrizaje (M _L ): 100 kg ( ESA )
Diámetro medio del cometa: 4 km (Wikipedia)
Velocidad inicial del módulo de aterrizaje (v ₀ ): 0,187 m/s ( Blog de la AEE )
Altura de liberación: 22,5 km ( Blog de la AEE )

No puedo utilizar una aceleración gravitatoria constante porque la atracción gravitatoria aumentará a medida que el módulo de aterrizaje se acerque al cometa. Así que (con la ayuda de un profesor de física) obtuve las siguientes fórmulas. Como las fuerzas cambian a medida que avanza la simulación, utilizamos un conjunto iterativo de fórmulas en el que el siguiente conjunto de valores se calcula a partir del conjunto anterior. En lo que sigue, $n$ es la iteración actual y $n-1$ es la iteración anterior.

$$ a_n = \frac{GM_c}{r^2} $$

$$ v_n = v_{n-1} + a_{n-1}\Delta t $$

$$ r_n = r_{n-1} - v_{n-1} \Delta t - \tfrac{1}{2} a_{n-1} \Delta t^2 $$

(Los signos se eligen de manera que $a_n$ , $v_n$ y $r_n$ son cantidades no negativas). Podemos establecer una tabla de valores calculados, utilizando $\Delta t = 60$ segundos:

| n | a         | v        | r        |
----------------------------------------
| 0 | 1.1112E-6 | 0.187    | 24500.0  |
| 1 | 1.1122E-6 | 0.18706  | 24488.78 |
| 2 | 1.1132E-6 | 0.18713  | 24477.55 |
etc...

Como puedes ver, tanto la velocidad como la aceleración aumentan y el radio (altura) disminuye. Eso es bueno.

Detengo la simulación cuando $r$ cae por debajo de los 2000 metros (el radio medio del cometa).

El problema es que la simulación predice que el descenso durará unas 21 horas. El descenso real tardará unas 7 horas. Estoy equivocado por un factor de 3.

Intenté cambiar $\Delta t$ a 1 segundo, pero los números no cambian mucho.

¿Funcionarán estas fórmulas para la simulación? ¿Y estoy utilizando los valores iniciales correctos?

Answer 1

Como se mencionó en los comentarios, tienes la velocidad inicial mal. Tu fuente dice:

Además, la estrategia de separación seleccionada prevé una velocidad de separación de aproximadamente 0,187 m/s. Esto impone limitaciones a la capacidad de dirigir Philae hacia el cometa, es decir, restringe el dominio de posibles posiciones y velocidades para Rosetta en el momento de la separación.

Por lo tanto, estos 0,187 m/s no son la velocidad a la que Philae se desplaza hacia el cometa, sino la velocidad relativa a Rosetta tras la separación.

John Rennie fundó una fuente que sí menciona la velocidad relativa real entre Philae y 67P en el momento de la separación. Intenté encontrar otro yo mismo, preferiblemente uno del sitio de la ESA, sin embargo no fui capaz de encontrar uno, así que asumiré $2\ 1/2\ km/h$ es correcto, que es $0.69\ m/s$ .

Aunque su método debería dar una buena aproximación, es posible calcular es mucho más fácil utilizando el Ecuación de Kepler Sin embargo, la precisión de estos resultados es discutible, ya que la gravedad del cometa dista mucho de tener simetría esférica. Para una órbita Kepler no tenemos suficiente información, concretamente la dirección de las velocidades (componentes radiales y laterales). Has asumido un movimiento vertical completo, sin embargo creo que sería más probable que en el momento del aterrizaje la velocidad lateral coincidiera con la de la superficie. Para ello es necesario conocer la posición del lugar de aterrizaje y la velocidad y dirección de la rotación del cometa. El lugar de aterrizaje está situado en la "cabeza" del menor de los dos lóbulos del cometa, también llamado lugar J y posteriormente dopado Agilkia :

No he podido encontrar la altitud real respecto al centro de gravedad del cometa, por lo que habrá que estimarla. Para ello utilizaré este video mostrando el centro del cometa y la siguiente imagen para obtener la escala:

Mi mejor estimación a partir de estas dos fuentes da una altitud de unos 2,8 km. Este lugar de aterrizaje está bastante cerca del ecuador, por lo que la velocidad en superficie sería simplemente la altitud multiplicada por la velocidad angular. La velocidad angular puede calcularse a partir del período de rotación de 12,4043 ± 0,0007 horas y, por lo tanto, la velocidad de la superficie sería igual a aproximadamente $0.39\ m/s$ . De esto también se puede derivar que el momento angular específico , $h$ sería igual a $1.1 \times 10^3\ m^2/s$ . Para que quede claro, la mencionada altura de liberación se mide desde el centro del cometa. Combinando estas propiedades se obtiene un excentricidad orbital de 1,46 y un eje semimayor de -1,6 km. La velocidad de impacto calculada a partir de estos elementos orbitales sería de 0,86 m/s (sólo la componente radial de la velocidad orbital, ya que la componente lateral se eligió nula respecto a la superficie). El tiempo entre la separación y el impacto sería de unos 27000 segundos o unas 7,4 horas. Si utilizara un descenso puramente vertical tardaría 7,3 horas. Estos resultados se acercan mucho más a las 7 horas reales (no estoy seguro de la exactitud de esta cifra). Si se tiene en cuenta que el cometa no es ni mucho menos esférico y que la velocidad de lanzamiento podría estar cerca de los 2,4 o 2,6 km/h, lo que ya cambia el tiempo de viaje a 7,7 o 7,2 horas respectivamente, creo que es una buena aproximación razonable.