como te lo demuestro

Question

Por supuesto $\overline M$ es el conjugado complejo de un % del matriz del #% de $n\times n$%.

Alguien me dio consejos para usar la definición de determinante, entonces significa que tengo que hacer cofactor expasion?

Answer 1

Tiene la siguiente definición del determinante:

$$\det(M) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}n}\varepsilon(\sigma)\prod{i=1}^{n}m_{i,\sigma(i)}.$$

Entonces uno tiene homomorfismo de $$\det(\bar M) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}n}\varepsilon(\sigma)\prod{i=1}^{n}\bar m{i,\sigma(i)} = \sum{\sigma\in\mathfrak{S}n}\varepsilon(\sigma)\overline{\prod{i=1}^{n}m{i,\sigma(i)}} = \overline{\sum{\sigma\in\mathfrak{S}n}\varepsilon(\sigma)\prod{i=1}^{n}m_{i,\sigma(i)}} = \overline{\det M},$$ all this equalities holding because conjugation is a $\mathbb R$-álgebra.

Answer 2

Si desea utilizar el de Laplace de desarrollo (cofactores), entonces usted puede hacerlo por inducción.

El caso de $1\times1$ matrices es obvio, así que vamos a $n>1$ y asumir el resultado de $(n-1)\times(n-1)$ matrices.

Si $A=[a_{ij}]$ $n\times n$ matriz, denotan por $A_{ij}$ la matriz obtenida por la eliminación de la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna. Para no complicar las notaciones, vamos a $B=\bar{A}=[b_{ij}]$$b_{ij}=\overline{a_{ij}}$.

La expansión de la $\det B$ a lo largo de su primera línea es

$$\det B=(-1)^{1+1}b_{11}\det B_{11}+(-1)^{1+2}b_{12}\det B_{12}+\dots+ (-1)^{1+n}b_{1n}\det B_{1n}$$

Por hipótesis de inducción, $\det B_{ij}=\overline{\det A_{ij}}$, así que usted puede escribir

\begin{align} \det B&= (-1)^{1+1}\overline{a_{11}}\,\,\overline{\det A_{11}}+ (-1)^{1+2}\overline{a_{12}}\,\,\overline{\det A_{12}}+\dots+ (-1)^{1+n}\overline{a_{1n}}\,\,\overline{\det A_{1n}} \\[4pt] &= (-1)^{1+1}\overline{a_{11}\det A_{11}}+ (-1)^{1+2}\overline{a_{12}\det A_{12}}+\dots+ (-1)^{1+n}\overline{a_{1n}\det A_{1n}} \\[4pt] &=\overline{ (-1)^{1+1}a_{11}\det A_{12}+ (-1)^{1+2}a_{12}\det A_{12}+\dots+ (-1)^{1+n}a_{11}\det A_{1n} } \\[4pt] &=\overline{\det A} \end{align}