Rastro de matriz nilpotente sobre un anillo.

Question

Sea$R$ un anillo conmutativo con la unidad, y$n$ un entero positivo.

Deje$A\in \mathfrak{M}_n(R)$ para que exista$m\in \mathbb N$, para lo cual$A^m=0$.

¿Es cierto que existe$\ell\in \mathbb N$, tal que$\bigl(\text{tr}(A)\bigr)^\ell=0$?

Observación: es cierto para$n=1$ y$n=2$.

Answer 1

Si $\mathfrak{p}$ es cualquier primer ideal de $R$, $A/\mathfrak{p}$ es un dominio. Podemos incrustar en su fracción de campo, a continuación, en una clausura algebraica. Entonces su matriz de mod $\mathfrak{p}$ es triangularisable, por supuesto, con autovalores $0$.

Por lo tanto, la reducción de mod $\mathfrak{p}$ de su matriz tiene fuga de seguimiento. Como esto es cierto para cada primer ideal, esto muestra que la traza de $A$ es en la intersección de todos los primer ideales de $R$, que está en el nilradical de $R$, que es el ideal de nilpotent elementos de $R$.

Esto concluye la prueba.