Igualdad en la desigualdad de Young para la convolución

Question

Estoy tratando de entender qué tan aguda es la desigualdad de Young para la convolución. La desigualdad dice $||f \ast g||_r \leq ||f||_p ||g||_q$ donde como $1/p+1/q = 1+1/r$ .

En realidad, hay un par de documentos (por ejemplo: Agudeza en la desigualdad de Young para la convolución ) hablando del caso de $p, q>1$ y la respuesta es que podemos encontrar una constante $C<1$ tal que $||f \ast g||_r \leq C||f||_p ||g||_q$

Sin embargo, creo que cuando $f\in L^1$ y no negativo, tendremos un agudo $||f \ast g||_p \leq ||f||_1 ||g||_p$ . ¿Alguien conoce una prueba de esto?

Para ser más precisos, ¿podemos construir una secuencia $\{g_n\}$ de $L^p$ funciones, de tal manera que $||f\ast g_n||_p/||g_n||_p\rightarrow ||f||_1$ como $n\rightarrow \infty$ ?

Answer 1

No sé si se puede construir una secuencia como la que propones arriba, pero sí sé que la desigualdad que propones es aguda. La prueba de esto se presenta claramente en Becker "Inequalites in Fourier Analysis'' (1975):

http://www.jstor.org/stable/1970980

La aguda desigualdad de Young se lee: $$\|f \ast g \|_r \leq \left( A_p A_q A_{r'} \right)^n \|f\|_p\|g\|_q$$ donde $A_s = \left( \frac{s^{1/s}}{s'^{1/s'}} \right)$ , $\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = 1$ , $f$ y $g$ son funciones sobre $n$ dimensiones, y $1 \leq p,\,q,\,r\leq \infty$ como siempre. Para demostrar que su desigualdad es aguda, sólo es necesario observar que $A_s A_{s'}=A_1=1$ .

Esta desigualdad se satura siempre que $f$ y $g$ son ambos gaussianos, según el documento.