Probar esta suma de $\small\sqrt{x^2-2x+16}+\sqrt{y^2-14y+64}+\sqrt{x^2-16x+y^2-14y+\frac{7}{4}xy+64}\ge 11$

Question

Que $x,y\in R$.show %#% $ #%

Todo lo que he intentado ha fallado far.use equipo encontrado esta desigualdad $$\color{crimson}{f(x,y)=\sqrt{x^2-2x+16}+\sqrt{y^2-14y+64} + \sqrt{x^2-16x+y^2-14y+\frac{7}{4}xy+64} \ge 11}$ iff sólo si $\color{blue}=$

Aquí es algo probado, pero obviamente no funcionó. $\color{blue}{x=2,y=6}$$

Gracias de antemano

Answer 1

Para mayor comodidad, hacemos la traducción $x=2+a$ y $y=6+b$, para que la igualdad se trata de $a=b=0$. Entonces la expresión a es: $$\sqrt{(a+1)^2+15}+\sqrt{(b-1)^2+15}+\sqrt{\frac{7}{8}(a+b)^2+\frac{1}{8}(a-6)^2+\frac{1}{8}(b+6)^2} $ $ recordar ahora el siguiente formulario de Cauchy-Schwarz para variables no negativo de $n$$x_1, \cdots, x_n$: $$\sqrt{n(x_1+\cdots+x_n)}=\sqrt{(1+\cdots+1)(x_1+\cdots+x_n)}\ge \sqrt{x_1}+\cdots+\sqrt{x_n}$ $ con igualdad iff $x_1=\cdots=x_n$. Utilizamos esta tres veces, teniendo en cuenta la igualdad caso $a=b=0$: $$\sqrt{(a+1)^2+15}=\frac{1}{4}\sqrt{16((a+1)^2+15)}\ge \frac{1}{4}(|a+1|+15)$ $ $$\sqrt{(b-1)^2+15}=\frac{1}{4}\sqrt{16((b-1)^2+15)}\ge \frac{1}{4}(|b-1|+15)$ #% $ %#% $ desde $$\sqrt{\frac{7}{8}(a+b)^2+\frac{1}{8}(a-6)^2+\frac{1}{8}(b+6)^2}\ge \frac{1}{4}\sqrt{2((a-6)^2+(b+6)^2)}\ge \frac{1}{4}(|a-6|+|b+6|)$ y $|a-6|+|a+1|\ge 7$ por la desigualdad del triángulo, la expresión debe ser de al menos $|b+6|+|b-1|\ge 7$, como sea necesario.