geometría de la teoría de d-módulos y categoría triangulada

Question

Esta pregunta fue motivada por las respuestas En no conmutativa la geometría algebraica allí, mencionó, hay algunas personas que toman la categoría de módulos de la categoría coherente de las poleas en la no-existencia de espacio. Así,no puede haber ninguna topológica del espacio y las nociones de gavilla en esta configuración.

Mi pregunta podría estar relacionado con esta observación, pero para triangular la categoría. Parece que Beilinson-Bernstein tomar la derivada de la categoría de coherente D-módulos como un no-existencia de espacio, ¿verdad? Se utilizaron diversos adjunto triángulo functor para estas categorías derivadas de la D-módulos.

Así, hay un espacio geométrico(topológicas del espacio)en este marco? Hay noción de la gavilla de derivados de categoría?

Más en general, para la derivada de la categoría de D-módulo en un sistema(no necesariamente liso), podemos definir topológica del espacio y la gavilla de este derivado de la categoría? Hay una sección global functor que recuperar este derivado de la categoría?

Answer 1

A mí me parece como si la mayoría de manera conceptual para pensar acerca de esto es como sigue:

• el deRham espacio de $dR(X)$ de X es (como se describe allí) el decategorification de lo que me gusta llamar la infinitesimal camino oo-groupoid $\Pi^{inf}(X)$ $X$ , la cual es modelada por la infintiesimal singluar simplicial complejo de $X^{(\Delta^\bullet_{inf})}$ $X$.

• un D-modulo de X, por lo tanto, un quasicoherent gavilla en $dR(X)$ es por lo tanto un decategorification de un morpism $\Pi^{inf}(X) \to \infty Mod$ que codifica una (generalizada) plano oo-vector paquete: cada "punto" de $X$ de fibra, sobre cada uno de los infinitesimales ruta de un morfismos de fibras, encima de cada infintiesimal homotopy un homotopy de morfismos de fibras, etc.

Para la categoría de D-módulos en un espacio es algo así como su categoría de la plana (generalizada) vector de paquetes.

Como actualmente discutidos por ejemplo aquí en el nCafe, la forma de pensar acerca de esto en términos de las nociones de espacio es la siguiente:

en el oo-contexto, la llanura overcategory de nuestro ambiente oo-cimas por encima de un espacio X es solo este espacio X considerarse doblemente en términos de la oo-topos de oo-pilas de más. Este es un cambio de perspectiva (espacio para las cosas en el espacio) que esencialmente no perder información.

Pero, a continuación, por el contrario, podemos primero formar el overcategory y luego se estabilizan . Esto hace perder la información. Y de hecho, esto se convierte en forma de la categoría, no de oo-pilas pero de quasicoherent poleas $X$. Estos son para ser considerado como un "linealización de todas oo-pilas". Yo trato de hablar de eso aquí.

Así que esto da una descripción del espacio original que es un poco más indirecto. Ahora, con D-módulos, se convierte en aún un poco más indirecto: en lugar de todos los estabilizado oo-pilas, que acaba de retener a aquellos que tienen un plano de la conexión, en un camino.

El original subyacente espacio no necesita ser completamente reconstructible de este. Pero, a continuación, tomar la perspectiva de que sólo estamos interesados en el lineal y plano de situación, y tomar una estable oo-ocategory a ser formal dual de un posiblemente ficticio espacio.

Answer 2

Como Scott implica, probablemente hay un montón de respuestas sensatas a esta pregunta, pero una de las posibilidades es la vista de la categoría de $\mathcal D$-los módulos de un (suave) variedad $X$ como una categoría de cuasi-coherente con poleas en un "no conmutativa la deformación" de la cotangente del paquete de $T^*X$. Esto es básicamente sólo otra manera de ver la existencia del símbolo de mapa, pero precisamente por eso es un buen punto de vista -- usted puede levantar $\mathcal D$-a los módulos de módulos para la microdifferential operadores (o pseudodifferential operadores) en la cotangente del paquete, y trabajar de forma local en la cotangente del paquete es entonces una técnica útil. Este proceso se llama "la microlocalización", y creo que es por lo menos mencionado en la discusión de la geometría no conmutativa.

Answer 3

Yo no puedo decir qué tipo de respuesta que usted quiera, pero lo que puedo decir algunas palabras conectado a D-módulos y la geometría.

La derivada de la categoría de D-módulos en un esquema de $X$ es equivalente a la derivada de la categoría de quasicoherent gavillas en el De Rham de la pila de $X^{DR}$. Es probablemente la mejor manera de pensar de $X^{DR}$ como un functor de anillos conmutativos en los conjuntos, en lugar de como un espacio topológico. En particular, se definen $X^{DR}(A) = X(A/nil (A))$ por un anillo conmutativo $A$ con nilradical $nil(A)$, y hacer la cosa natural para morfismos.

Otro modo de considerar $D$-módulos es como quasicoherent gavillas en la infinitesimal sitio de $X$. Los objetos en la categoría de pares $(U,T)$ donde $U \to X$ es etale, y $U \to T$ es un nilimmersion. Morfismos son evidentes conmutativa diagramas. Las fundas vienen de etale surjections en las colecciones de $U$. Usted puede ser que desee pensar de lo infinitesimal topos como un proxy para un espacio topológico.